ZHAWNotes/Notes/Semester 3/STS - Stochastik und Statistik/Summary.md

<style>
  img {
    max-height: 300px;
  }
</style>

# Stochastik und Statistik

- [Stochastik und Statistik](#stochastik-und-statistik)
  - [Deskriptive Statistik](#deskriptive-statistik)
    - [Merkmals-Typen](#merkmals-typen)
    - [Häufigkeiten](#häufigkeiten)
      - [Klassierte Stichproben im Histogramm](#klassierte-stichproben-im-histogramm)
    - [Kennwerte](#kennwerte)
      - [Quantile](#quantile)
      - [Boxplot](#boxplot)
      - [Lage-Kennwerte](#lage-kennwerte)
      - [Streuungs-Kennwerte](#streuungs-kennwerte)
      - [Lagewerte in Klassierten Daten](#lagewerte-in-klassierten-daten)
- [Glossar](#glossar)

## Deskriptive Statistik
Ermittlung von Kenngrössen und Datenvalidierung

### Merkmals-Typen
```mermaid
flowchart TD
  r[Merkmals-Typ]
  q[Qualitativ/Kategoriell]
  m[Quantitativ/Metrisch]
  n[Nominal]
  o[Ordinal]
  d[Diskret]
  s[Stetig]
  r --> q
  r --> m
  q --> n
  q --> o
  m --> d
  m --> s
```

  - Qualitativ/Kategoriell - Unmessbar
    - Nominal: Nicht mit bestimmtem Wert verbunden
    - Ordinal: Mit Wert verbunden
  - Quantitativ/Metrisch - Messbar
    - Diskret: Nur bestimmte Werte möglich
    - Stetig: Jegliche Werte möglich

***Beispiele:***

Frage: Welche Sprache sprichst du?

| Ausprägungen                                     | Merkmal-Typ |
| ------------------------------------------------ | ----------- |
| Deutsch, Französisch, Italienisch, Rätoromanisch | Nominal     |

Frage: Ich würde das Produkt weiterempfehlen

| Ausprägungen                                                                   | Merkmal-Typ |
| ------------------------------------------------------------------------------ | ----------- |
| Stimme nicht zu, Stimme eher nicht zu, Keine Angabe, Stimme eher zu, Stimme zu | Ordinal     |

Frage: Wieviele Male hast du heute Steam gestartet?

| Ausprägungen       | Merkmal-Typ | Bemerkung                                           |
| ------------------ | ----------- | --------------------------------------------------- |
| Ganze Zahlen $> 0$ | Diskret     | Es sind keine beliebigen Werte möglich (bspw. 0.5). |

Frage: Was ist dein Welt-Rekord im 100-Meter-Lauf?

| Ausprägungen   | Merkmal-Typ | Bemerkung                                                        |
| -------------- | ----------- | ---------------------------------------------------------------- |
| Beliebige Zeit | Stetig      | Jegliche Zahlen (mit beliebig vielen Kommastellen) sind möglich. |

Frage: Wieviel kostet ein Mars-Riegel?

| Ausprägungen            | Merkmal-Typ | Bemerkung                                                           |
| ----------------------- | ----------- | ------------------------------------------------------------------- |
| Beliebiger Preis in CHF | Diskret     | Beträge, die nicht durch 5 Rappen teilbar sind, sind nicht möglich. |

### Häufigkeiten
Eine Häufigkeit ist die Anzahl Male, die ein Merkmalsträger in der Stichprobe eine bestimmte Eigenschaft erfüllt.
Diese kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden.

  - ***Absolute Häufigkeit $h_i$:*** Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gezählten Elemente.
  - ***Relative Häufigkeit $f_i$:*** Ergibt sich, indem man die absolute Häufigkeit durch den Stichproben-Umfang teilt.
    $$f_i = \frac{h_i}{n}$$

Zudem gelten folgende Regeln:

$$\sum_{i = 1}^n h_i = n$$
$$\sum_{i = 1}^n f_i = 1$$

Die Funktion für die Häufigkeitsfunktion (auch genannt: Dichtefunktion) hat folgende Abkürzungen:

  - Für diskrete Merkmale: _PMF_ (probability mass function)
  - Für stetige Merkmale: _PDF_ (probability density function)

Zudem gibt es folgende Verteilungsfunktionen:
  - $H(x)$ Absolute Summenhäufigkeit: Anzahl Merkmalträger mit Merkmal $x_i$ mit $x_i < x$
  - $F(x)$ Kummulative Verteilungsfunktion _CDF_: Relative Häufigkeit der Merkmalträger mit Merkmal $x_i$ mit $x_i < x$

Beispiele der wichtigsten Häufigkeits-Funktionen:

![](./Probabilities.png)

<div class="letters">

  - $f_i$: Relative Häufigkeit
  - $h_i$: Absolute Häufigkeit
  - $n$: Anzahl Merkmalträger in der Stichprobe

</div>

#### Klassierte Stichproben im Histogramm
Klassierte Stellen werden durch Grösse der Klasse geteilt, um diese zu berücksichtigen.

Daraus gewonnene Daten können in einem Histogramm dargestellt werden.

Beispiel:
| Klasse                       | $[100,200[$                | $[200,500[$                 | $[500,800[$                 | $[800,1000[$               | $[1000,2000[$                | Total |
| ---------------------------- | -------------------------- | --------------------------- | --------------------------- | -------------------------- | ---------------------------- | ----- |
| Absolute Häufigkeit          | $35$                       | $182$                       | $317$                       | $84$                       | $132$                        | $750$ |
| Relative Häufigkeit          | $\frac{35}{750}$           | $\frac{182}{750}$           | $\frac{317}{750}$           | $\frac{84}{750}$           | $\frac{132}{750}$            | $1$   |
| Klassen-Grösse               | $100$                      | $300$                       | $300$                       | $200$                      | $1000$                       |
| Säulenhöhe für Absolut       | $\frac{35}{100}$           | $\frac{182}{300}$           | $\frac{317}{300}$           | $\frac{84}{200}$           | $\frac{132}{1000}$           |       |
| Säulenhöhe für Relativ (PDF) | $\frac{35}{750 \cdot 100}$ | $\frac{182}{750 \cdot 300}$ | $\frac{317}{750 \cdot 300}$ | $\frac{84}{750 \cdot 200}$ | $\frac{132}{750 \cdot 1000}$ |       |

Histogramm der genannten Daten:

![](./Histogram.png)

### Kennwerte
#### Quantile
Ein $q$-Quantil definiert den Wert des $\lceil n \cdot q \rceil$-te Element.

Folgende bekannte $q$-Quantile gibt es:
  - $0.25$-Quantil: Das 1. Quartil
  - $0.50$-Quantil: Das 2. Quartil auch "Median" oder "Zentralwert"
  - $0.75$-Quantil: Das 3. Quartil

Beispiel einer Statistik mit eingezeichneten Quartilen:

![](./Quantiles.png)

#### Boxplot
  - Boxplots zeigen folgende Informationen
    - Das 1. Quartil $Q_1$
    - Den Median $Q_2$
    - Das 3. Quartil $Q_3$
    - Den Minimalwert (min. $1.5 \cdot (Q_3 - Q_1)$)
    - Den Maximalwert (max. $1.5 \cdot (Q_3 - Q_1)$)

![](Boxplot.png)

#### Lage-Kennwerte
  - Arithmetisches Mittel $\overline{x}$: Mittelwert der Stichprobenwerte
  - Median $x_\text{med}$: Wert des 2. Quartil $Q_2$
  - Modus $x_\text{mod}$: Der häufigste Wert in der Stichprobe

#### Streuungs-Kennwerte

<div class="formula">

***Varianz $\tilde{s}^2$:***

$$\tilde{s}^2 = \left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^m{a_i^2 \cdot h_i}\right) - \tilde{x}^2$$

alternative Schreibweisen:

$$\begin{aligned}
 \tilde{s}^2 &= \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^m{h_i \cdot (a_i - \overline{x})^2} \\
 &= \left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2 = \left(\sum_{i = 1}^m{a_i^2 \cdot f_i}\right) - \overline{x}^2
\end{aligned}
$$

***Standardabweichung $\tilde{s}$:***

$$\tilde{s} = \sqrt{\tilde{s}^2}$$

***Korrigierte Varianz $s^2$:***

$$s^2 = \frac{n}{n - 1} \tilde{s}^2$$

***Korrigierte Standardabweichung $s$:***

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \cdot \tilde{s}$$

***Interquartilsabstand $IQR$:***

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

</div>

<div class="letters">

  - $a_i$: $i$-te Merkmals-Ausprägung
  - $m$: Anzahl unterschiedlicher Merkmals-Ausprägungen (oder Klassen)

</div>

#### Lagewerte in Klassierten Daten
Einige Werte berechnen sich speziell in klassierten Daten.

***Quantile:***

Der Wert $R_q$ eines $q$-Quantils berechnet sich, indem folgendes durchgeführt wird:

 1. Erste Klasse $K$ mit einem $CDF > q$ finden
 2. $K_0$ auf untere und $K_1$ auf obere Grenze der Klasse $K$ setzen
 3. Folgendes berechnen:
    $$R_q = K_0 + \frac{(K_1 - K_0) \cdot (q - CDF(K_0))}{CDF(K_1) - CDF(K_0)}$$
 4. $R_q$ entspricht nun dem $q$-Quartil

***Modus:***

 1. Klasse $K$ mit grösster relativer Häufigkeit bestimmen
 2. $K_0$ auf untere und $K_1$ auf obere Grenze der Klasse $K$ setzen
 3. Folgendes berechnen:
    $$x_\text{mod} = K_0 + \frac{K_1 - K_0}{2}$$

# Glossar
  - Univariate Daten: Daten, welche nur ein Merkmal haben