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# Höhere Mathematik
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## Inhalt
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- [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik)
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- [Inhalt](#inhalt)
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- [Einführung](#einführung)
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- [Einsatzgebiet](#einsatzgebiet)
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- [Arten von Lösungen](#arten-von-lösungen)
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- [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik)
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- [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen)
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- [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik)
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- [Lernziele](#lernziele)
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- [Maschinenzahl](#maschinenzahl)
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- [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen)
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- [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee)
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- [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit)
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- [Konditionszahl](#konditionszahl)
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- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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- [Glossar](#glossar)
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## Einführung
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### Einsatzgebiet
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- Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit
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- Berechnung von Algorithmen durch Computer
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- Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung
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- Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance
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### Arten von Lösungen
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- Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit
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- Näherungsverfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte
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### Verbindung zur Informatik
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- Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen
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- Speicherung und Darstellung von Zahlen
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- Computergrafik & Bildverarbeitung
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- Neuronale Netze
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### Typische Fragestellungen
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- Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus?
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- Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
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- Numerische Integration
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## Rechnerarithmetik
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### Lernziele
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- [ ] Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen
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- [ ] Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen
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- [ ] Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen
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### Maschinenzahl
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Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt:
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$x = m \cdot B^e$
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- $x$: Die zu repräsentierende Zahl
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- $m$: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert)
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- $B$: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl
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- $e$: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse $m$)
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Beispiel:
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$1337 = 0.1337 * 10^4$
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Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn
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- für die Mantisse $m$ $0.1 <= |m| < 1.0$ zutrifft
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Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.
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### Grenzen von Maschinenzahlen
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$x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$
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$x_min = B^{e_{min} - 1}$
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### Datentypen gem. IEEE
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`float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$
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`double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$
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### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
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Absoluter Fehler:
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$$|\tilde{x} - x|$$
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Relativer Fehler:
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$$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
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Maximaler **absoluter** Rundungsfehler:
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$$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$
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**Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler:
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$$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$
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Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:
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Relativ:
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$$\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)} \cdot \frac{\tilde{x} - x}{x}$$
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Absolut:
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$$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
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- $B$: Die Basis der Maschinenzahl
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- $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$)
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- $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$
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- $x$: Der darzustellende Wert
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- $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$
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- $f$: Auszuwertende Funktion
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### Konditionszahl
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Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.
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Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine hohe Konditionszahl ein grosses Fehlerrisiko.
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Formel:
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$$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
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## Formelbuchstaben
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- $B$: Basis der Maschinenzahl
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- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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- $K$: Konditionszahl
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- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
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- $x$: Darzustellender Wert
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- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
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## Glossar
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