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Manuel Thalmann 2022-06-19 17:45:56 +02:00
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Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md
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@ -641,9 +641,20 @@ Unter _Taylor-Reihe_ versteht man ein unendliches Taylor-Polynom:
$$t_f(x) = \sum_{k = 0}^\infin{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$ $$t_f(x) = \sum_{k = 0}^\infin{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$
### Konvergenz ### Konvergenz
Die Konvergenz beschreibt den Fakt, dass Annäherungen zum Teil mit der anzunähernden Funktion übereinstimmen.
Hierbei steht der Konvergenz-Bereich für die Stellen, an denen die Funktion und die Annäherung übereinstimmen.
#### Potenzreihen #### Potenzreihen
Grundsätzliche Formel einer Potenzreihe.
$$P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^k}$$ $$P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^k}$$
> **Quotienten-Kriterium:**
> Für _jede_ Potenzreihe $P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^x}$ gibt es einen Abstand $r$, so dass
> * alle $x \in (x_0 - r, x_0 + r)$ zum Konvergenz-Bereich gehören
> * alle $x \in (-\infin, x_0 - r) \cup (x_0 + r, \infin)$ nicht zum Konvergenz-Bereich gehören
https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf
[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation] [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]