From 2f762f79a89965c27895d165475b0ca283229f13 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manuel Thalmann <m@nuth.ch>
Date: Wed, 15 Jun 2022 23:56:18 +0200
Subject: [PATCH] Add notes concerning taylor polynom

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 .../AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md   | 60 +++++++++++++++++++
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+++ b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md	
@@ -580,6 +580,66 @@ $$x_S = \frac{\pi}{V} \cdot \int_a^b{x \cdot f^2(x)}dx$$
 $$y_S = 0$$
 $$z_S = 0$$
 
+## Taylor-Reihen
+### Herleitung
+#### Polynom durch Stützpunkte Legen
+Um ein Polynom auf $n$ Stützpunkte zu legen, muss das Polynom vom Grad $n - 1$ sein.
+
+Mit Hilfe eines Gleichungssystems lässt sich bestimmen, durch welche bestimmte Stützpunkte durchquert.
+
+##### Beispiel
+Der Vorgang wird anhand der Gleichung $f(x) = e^{2x}$ aufgezeigt.
+
+**1. Stützpunkte Identifizieren:**
+
+Der Graph $f(x) = e^{2x}$ läuft unter anderem durch die folgenden Stellen:
+  - $(0, 1)$
+  - $(1, e^2)$
+  - $(2, e^4)$
+
+**2. Gleichungssystem aufstellen:**
+
+Für 3 Stützpunkte benötigt das Polynom, wie erwähnt, einen Grad von $3$.
+
+Ein Polynom 3. Grades hat den folgenden Aufbau:
+
+$$p(x) = a + bx + cx^2$$
+
+Daraus lässt sich anhand der Stützpunkte folgendes Gleichungssystem aufstellen:
+
+$$\begin{align*}
+  1 &= a + 0b + 0c \\
+  e^2 &= a + b + c \\
+  e^4 &= a + 2b + 4c \\
+\end{align*}$$
+
+Das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt folgendes:
+
+$$\begin{align*}
+  a &= 1 \\
+  b &= e^2 - 1 - c = -14.02 \\
+  c &= \frac{e^4 + 1}{2} - e^2 = 20.41
+\end{align*}$$
+
+Die ergebende Polynomfunktion ist:
+
+$$p(x) = 1 - 14.02x + 20.41x^2$$
+
+#### Lokale Approximation
+Ziel der lokalen Approximation ist es, eine Annäherung an eine Funktion zu finden, die an einem bestimmten Punkt $x_0$ besonders genau am Funktionswert $f(x_0)$ liegt.
+
+Dies ist möglich mit der folgenden Formel:
+
+##### Taylor-Polynom
+Für eine Approximation mit einem _Taylor-Polynom_ vom Grad $n$ der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ kann folgende Formel verwendet werden:
+
+$$p(x) = \sum_{k = 0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$
+
+##### Taylor-Reihe
+Unter _Taylor-Reihe_ versteht man ein unendliches Taylor-Polynom:
+
+$$t_f(x) = \sum_{k = 0}^\infin{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$
+
 https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf
 
 [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]