Add chapter about complex numbers

Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -64,6 +64,8 @@
     - [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
     - [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren)
     - [Konvergenz](#konvergenz)
+  - [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
+    - [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -1213,6 +1215,179 @@ Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- u
 
 </div>
 
+## Komplexe Zahlen
+Der Bereich der Komplexen Zahlen dient dazu, Werte abzubilden, die es eigentlich nicht geben kann.
+
+Beispiel einer komplexen Zahl:
+
+$$x^2 = -1$$
+
+Es gibt keinen Wert, der $-1$ ergibt, wenn er quadriert wird. Es handelt sich also um eine komplexe Zahl.
+
+Dafür wird die imaginäre Einheit $i$ eingeführt mit folgender Eigenschaft:
+
+$$i^2 = -1$$
+
+Für diese Definition wäre das Resultat von $x^2= -1$ also $x = \plusmn{i}$
+
+In Python und in der Elektrotechnik wird der Buchstabe $j$ verwendet.
+
+Komplexe Zahlen $z$ mit $z = x + i \cdot y$ können nicht auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden.
+
+Sie können in einem Koordinaten-System eingezeichnet werden, wobei $x$ der reale und $y$ der imaginäre Anteil sind:
+
+![](ComplexNumbers.png)
+
+Dieses Koordinaten-System nennt sich auch **Gaussche Zahlenebene**.
+
+<div class="formula">
+
+***Komplexe Zahlen:***
+
+Imaginäre Einheit $i$:
+
+$$i^2 = -1$$
+
+Komplexe Zahlen $z$:
+
+$$z = x + i \cdot y$$
+
+**Konjugierte** komplexe Zahl:
+
+$$z^* = x - i \cdot y$$
+
+Betrag von $z$:
+
+$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
+
+Menge aller komplexen Zahlen $\mathbb{C}$:
+
+$$\mathbb{C} = \{ z | z = x + i \cdot y \text{ mit } x, y \in \mathbb{R}\}$$
+
+</div>
+
+Veranschaulichung einer konjugierten komplexen Zahl $z^*$:
+
+![](ConjugatedComplexNumber.png)
+
+<div class="letters">
+
+  - $\mathbb{C}$: Menge aller komplexen Zahlen
+  - $x$: Realteil einer komplexen Zahl
+  - $y$: Imaginärteil einer komplexen Zahl
+  - $z$: Komplexe Zahl
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Darstellungsformen:***
+
+Es gibt diverse Darstellungsformen für komplexe Zahlen:
+
+  - Normalform (auch "algebraische" oder "kartesische" Form):
+    $$z = x + i \cdot y$$
+  - Trigonometrische Form:
+    $$z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi))$$
+  - Exponential-Form:
+    $$z = re^{i \cdot \varphi}$$
+
+</div>
+
+Beispiel einer komplexen Zahl $z$ in der Normalform und der Trigonometrischen Form:
+
+![](TrigonometricComplexNumber.png)  
+
+<div class="letters">
+
+  - $r$: Die Länge des Vektors einer komplexen Zahl $z$ ($r = |z|$)
+  - $\varphi$: Der Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor der komplexen Zahl $z$
+
+</div>
+
+### Rechen-Regeln
+
+<div class="formula">
+
+***Rechen-Regeln für komplexe Zahlen:***
+
+Addition:
+
+$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i \cdot (y_1 + y_2)$$
+
+Subtraktion:
+
+$$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i \cdot (y_1 - y_2)$$
+
+Multiplikation:
+
+$$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) +
+  i \cdot(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_2)$$
+
+Division:
+
+$$\begin{aligned}
+  \frac{z_1}{z_2} &=
+    \frac{z_1 \cdot z_2^*}{z_2 \cdot z_2^*} =
+    \frac{(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)}{(x_2 + i \cdot y_2) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)} \\
+  &= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2) + i \cdot (y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} \\
+  &= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} + i \cdot \frac{(y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2}
+  \end{aligned}$$
+
+</div>
+
+Visualisierung von Addition und Subtraktion zwei komplexer Zahlen $z_1$ und $z_2$:
+
+![](ComplexNumberMath.png)
+
+<div class="formula">
+
+***Potenzieren in der Polarform:***
+
+Für komplexe Zahlen in der Normalform gilt folgendes:
+
+  - Sei $n \in \mathbb{N}$:
+    $$z^n = (r \cdot e^{i \cdot \varphi})^n = r^n \cdot e^{i \cdot n \cdot \varphi} =
+    r^n \cdot (\cos(n \cdot \varphi) + i \cdot \sin(n \cdot \varphi))$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Fundamentalsatz der Algebra:***
+
+Eine algebraische Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Koeffizienten und Variablen $a_i, z \in \mathbb{C}$
+
+$$a_n \cdot z^n + a_{n - 1} \cdot z^{n - 1} + \dots + a_1 \cdot z + a_0 = 0$$
+
+besitzt in der Menge $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen genau $n$ Lösungen.
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl:***
+
+Die Gleichung für das Ziehen einer Wurzel $n$ der komplexen Zahl $a$ lautet: $z^n = a$.
+
+Für die Lösung dieser Gleichung existieren genau $n$ verschiedene Lösungen in der Menge $\mathbb{C}$:
+
+$$z_k = r \cdot (\cos(\varphi_k + i \cdot \sin(\varphi_k)) = r \dot e^{i \cdot \varphi_k}$$
+
+für $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$:
+mit
+
+$$r = \sqrt[n]{r_0}$$
+$$\varphi_k = \frac{\varphi + k \cdot 2 \cdot \pi}{n}$$
+
+Die Bildpunkte der Ergebnisse liegen in der komplexen Zahlenebene auf einem Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius $r = \sqrt[n]{r_0}$ und bilden die Ecken eines regelmässigen $n$-Ecks.
+
+</div>
+
+Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
+
+![](RootComplexNumber.png)
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
@@ -1226,6 +1401,8 @@ Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- u
   - $e$: Exponent der Maschinenzahl
   - $H$: Housholder-Matrix (siehe $QR$-Zerlegung)
   - $I$: Identitäts-Matrix (Matrix, überall den Wert $0$ und auf der Diagonalen den Wert $1$ hat)
+  - $i$: Imaginäre Einheit für die Darstellung komplexer Zahlen
+  - $j$: Alternative Schreibweise für $i$ in Python und in der Elektrotechnik
   - $K$: Konditionszahl
   - $L$: Untere Dreiecksmatrix/Normierte Matrix
   - $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)