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@ -64,6 +64,8 @@
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- [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
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- [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
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- [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren)
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- [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren)
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- [Konvergenz](#konvergenz)
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- [Konvergenz](#konvergenz)
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- [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
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- [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
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- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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- [Glossar](#glossar)
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- [Glossar](#glossar)
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@ -1213,6 +1215,179 @@ Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- u
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</div>
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</div>
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## Komplexe Zahlen
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Der Bereich der Komplexen Zahlen dient dazu, Werte abzubilden, die es eigentlich nicht geben kann.
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Beispiel einer komplexen Zahl:
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$$x^2 = -1$$
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Es gibt keinen Wert, der $-1$ ergibt, wenn er quadriert wird. Es handelt sich also um eine komplexe Zahl.
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Dafür wird die imaginäre Einheit $i$ eingeführt mit folgender Eigenschaft:
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$$i^2 = -1$$
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Für diese Definition wäre das Resultat von $x^2= -1$ also $x = \plusmn{i}$
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In Python und in der Elektrotechnik wird der Buchstabe $j$ verwendet.
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Komplexe Zahlen $z$ mit $z = x + i \cdot y$ können nicht auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden.
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Sie können in einem Koordinaten-System eingezeichnet werden, wobei $x$ der reale und $y$ der imaginäre Anteil sind:
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![](ComplexNumbers.png)
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Dieses Koordinaten-System nennt sich auch **Gaussche Zahlenebene**.
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<div class="formula">
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***Komplexe Zahlen:***
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Imaginäre Einheit $i$:
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$$i^2 = -1$$
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Komplexe Zahlen $z$:
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$$z = x + i \cdot y$$
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**Konjugierte** komplexe Zahl:
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$$z^* = x - i \cdot y$$
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Betrag von $z$:
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$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
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Menge aller komplexen Zahlen $\mathbb{C}$:
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$$\mathbb{C} = \{ z | z = x + i \cdot y \text{ mit } x, y \in \mathbb{R}\}$$
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</div>
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Veranschaulichung einer konjugierten komplexen Zahl $z^*$:
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![](ConjugatedComplexNumber.png)
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<div class="letters">
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- $\mathbb{C}$: Menge aller komplexen Zahlen
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- $x$: Realteil einer komplexen Zahl
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- $y$: Imaginärteil einer komplexen Zahl
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- $z$: Komplexe Zahl
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</div>
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<div class="formula">
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***Darstellungsformen:***
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Es gibt diverse Darstellungsformen für komplexe Zahlen:
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- Normalform (auch "algebraische" oder "kartesische" Form):
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$$z = x + i \cdot y$$
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- Trigonometrische Form:
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$$z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi))$$
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- Exponential-Form:
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$$z = re^{i \cdot \varphi}$$
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</div>
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Beispiel einer komplexen Zahl $z$ in der Normalform und der Trigonometrischen Form:
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![](TrigonometricComplexNumber.png)
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<div class="letters">
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- $r$: Die Länge des Vektors einer komplexen Zahl $z$ ($r = |z|$)
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- $\varphi$: Der Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor der komplexen Zahl $z$
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</div>
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### Rechen-Regeln
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<div class="formula">
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***Rechen-Regeln für komplexe Zahlen:***
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Addition:
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$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i \cdot (y_1 + y_2)$$
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Subtraktion:
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$$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i \cdot (y_1 - y_2)$$
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Multiplikation:
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$$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) +
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i \cdot(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_2)$$
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Division:
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$$\begin{aligned}
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\frac{z_1}{z_2} &=
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\frac{z_1 \cdot z_2^*}{z_2 \cdot z_2^*} =
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\frac{(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)}{(x_2 + i \cdot y_2) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)} \\
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&= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2) + i \cdot (y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} \\
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&= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} + i \cdot \frac{(y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2}
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\end{aligned}$$
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</div>
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Visualisierung von Addition und Subtraktion zwei komplexer Zahlen $z_1$ und $z_2$:
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![](ComplexNumberMath.png)
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<div class="formula">
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***Potenzieren in der Polarform:***
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Für komplexe Zahlen in der Normalform gilt folgendes:
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- Sei $n \in \mathbb{N}$:
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$$z^n = (r \cdot e^{i \cdot \varphi})^n = r^n \cdot e^{i \cdot n \cdot \varphi} =
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r^n \cdot (\cos(n \cdot \varphi) + i \cdot \sin(n \cdot \varphi))$$
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</div>
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<div class="formula">
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***Fundamentalsatz der Algebra:***
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Eine algebraische Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Koeffizienten und Variablen $a_i, z \in \mathbb{C}$
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$$a_n \cdot z^n + a_{n - 1} \cdot z^{n - 1} + \dots + a_1 \cdot z + a_0 = 0$$
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besitzt in der Menge $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen genau $n$ Lösungen.
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</div>
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<div class="formula">
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***Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl:***
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Die Gleichung für das Ziehen einer Wurzel $n$ der komplexen Zahl $a$ lautet: $z^n = a$.
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Für die Lösung dieser Gleichung existieren genau $n$ verschiedene Lösungen in der Menge $\mathbb{C}$:
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$$z_k = r \cdot (\cos(\varphi_k + i \cdot \sin(\varphi_k)) = r \dot e^{i \cdot \varphi_k}$$
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für $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$:
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mit
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$$r = \sqrt[n]{r_0}$$
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$$\varphi_k = \frac{\varphi + k \cdot 2 \cdot \pi}{n}$$
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Die Bildpunkte der Ergebnisse liegen in der komplexen Zahlenebene auf einem Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius $r = \sqrt[n]{r_0}$ und bilden die Ecken eines regelmässigen $n$-Ecks.
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</div>
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Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
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![](RootComplexNumber.png)
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## Formelbuchstaben
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## Formelbuchstaben
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<div class="letters">
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<div class="letters">
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@ -1226,6 +1401,8 @@ Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- u
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- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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- $H$: Housholder-Matrix (siehe $QR$-Zerlegung)
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- $H$: Housholder-Matrix (siehe $QR$-Zerlegung)
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- $I$: Identitäts-Matrix (Matrix, überall den Wert $0$ und auf der Diagonalen den Wert $1$ hat)
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- $I$: Identitäts-Matrix (Matrix, überall den Wert $0$ und auf der Diagonalen den Wert $1$ hat)
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- $i$: Imaginäre Einheit für die Darstellung komplexer Zahlen
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- $j$: Alternative Schreibweise für $i$ in Python und in der Elektrotechnik
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- $K$: Konditionszahl
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- $K$: Konditionszahl
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- $L$: Untere Dreiecksmatrix/Normierte Matrix
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- $L$: Untere Dreiecksmatrix/Normierte Matrix
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- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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