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Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

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+<script src="../../../assets/deployggb.js"></script>
+<script src="../../../assets/graphs.js"></script>
+<script>
+    window.graphs(
+        [
+            [
+                "example",
+                [
+                    "f(x) = x^3 + 5",
+                    "a = IntegralBetween(f(x), 2, 4)",
+                    "SetCaption(a, \"Integral\")",
+                    "SetCaption(f, \"f(x)\")"
+                ],
+                undefined,
+                (api) =>
+                {
+                    api.setColor("a", 255, 0, 0);
+                    api.evalCommand("ZoomIn(-10, -10, 10, 100)");
+                    api.evalCommand("ShowLabel(a, true)");
+                }
+            ]
+        ])
+</script>
+
+# Zusammenfassung Analysis 2
+## Nullstellen durch Horner-Schema
+Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.
+
+Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt:
+
+$$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$
+
+Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:
+
+![](Horner%20Method.png)
+
+**1. Nullstelle aufschreiben**
+
+Im Bild rot markiert
+
+**2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben**
+
+Zu sehen im Bild in der obersten Reihe.  
+Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden.
+
+**4. Startwert notieren**
+Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt.
+
+**5. Berechnung**
+
+In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten.
+
+Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle.
+
+> **Note:**  
+> Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen.
+>
+> Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten:
+> $$3x^2 + 3x - 12$$
+>
+> Verdeutlicht:
+> $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$
+
+## Stammfunktion
+Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen[^Derivation].
+
+Alle Ableitungsregeln können unter [Ableitungen][Derivation] nachgeschlagen werden.
+
+## Integrale
+Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:
+
+<p id="example"></p>
+
+**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$**
+
+Integrale haben folgende Erscheinungsform:
+
+$$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$
+
+Die Zeichen haben folgende Bedeutung:
+  - $\int$: Integrations-Zeichen
+  - $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll)
+  - $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll)
+  - $f(x)$: Zu integrierende Funktion
+  - $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden.
+
+### Integration von Produkten
+Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren.
+
+Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben.
+
+#### Integration durch Substitution
+Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel:
+
+$$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
+
+Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt:
+
+$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$
+
+**1. Funktionen bestimmen**
+
+Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.
+
+  - $u(x) = x^2$
+  - $g(x) = \cos(u)$
+  - $f(x) = g(u(x))$
+
+**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**
+
+Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden:
+
+$$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$
+
+Das ergibt in diesem Beispiel folgendes:
+
+$$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$
+
+**3. Substitution**
+
+Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden:
+
+$$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
+
+Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss.
+
+Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**.
+
+$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx =
+\int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$
+
+Vereinfacht ergibt das folgendes:
+
+$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
+
+**4. Resultat berechnen**
+
+$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$
+
+Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen.
+
+Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes:
+
+$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$
+
+**5. Rücksubstitution**
+
+Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden:
+
+$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$
+
+#### Partielle Integration
+Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
+
+$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
+
+Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:
+
+$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$
+
+Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden:
+
+**1. Unterfunktionen bestimmen**
+
+Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden.
+
+  - $u'(x) = sin(x)$
+  - $v(x) = x$
+
+**2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen**
+
+  - $u(x) = -\cos(x)$
+  - $v'(x) = 1$
+
+**3. Resultat berechnen**
+
+Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
+
+$$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
+$$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$
+$$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$
+$$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$
+$$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$
+$$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$
+
+> **Note:**  
+> Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird.
+>
+> Beispiel:
+>
+> $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$
+
+#### Partialbruchzerlegung
+Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein.
+
+Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt:
+
+$$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$
+
+Folgende Schritte müssen durchgeführt werden:
+
+**1. Nullstellen des Nenners bestimmen**
+
+Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$)
+
+Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:
+
+![](PartInteg.png)
+
+Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$
+
+Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$.
+
+**2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen**
+
+  - Für einfache Nullstellen:
+    $$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$
+  - Für doppelte Nullstellen:
+    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$
+  - Für $r$-fache Nullstellen:
+    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$
+
+Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes:
+
+$$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$
+
+**3. Brüche gleichnamig machen**
+
+$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$
+
+Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden:
+
+$$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$
+
+**4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen**
+
+Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen:
+
+$$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$
+
+  - $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben:
+    $$A + B = 0$$
+  - $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben:
+    $$C - 4A - 3B = 1$$
+  - $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben:
+    $$4A + 2B - C = 1$$
+
+Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate:
+
+  - $A = 2$
+  - $B = -2$
+  - $C = 3$
+
+Daraus ergibt sich folgendes:
+
+$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$
+
+**5. Integration der Teilbrüche**
+
+Für Nenner ohne Exponent:
+
+$$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$
+
+Für Nenner mit Exponent:
+$$\begin{split}
+  \int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\
+  & = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\
+  & = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c
+\end{split}$$
+
+Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:
+
+$$\begin{split}
+  \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
+  & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
+  & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
+\end{split}$$
+
+#### Leitfaden
+![](ProductInt.png)
+
+[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]
+
+[Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md