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284
Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md
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@ -0,0 +1,284 @@
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<script src="../../../assets/deployggb.js"></script>
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<script src="../../../assets/graphs.js"></script>
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<script>
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window.graphs(
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[
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[
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"example",
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[
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"f(x) = x^3 + 5",
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"a = IntegralBetween(f(x), 2, 4)",
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"SetCaption(a, \"Integral\")",
|
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"SetCaption(f, \"f(x)\")"
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],
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undefined,
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(api) =>
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{
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api.setColor("a", 255, 0, 0);
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||||
api.evalCommand("ZoomIn(-10, -10, 10, 100)");
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||||
api.evalCommand("ShowLabel(a, true)");
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}
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]
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])
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</script>
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# Zusammenfassung Analysis 2
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## Nullstellen durch Horner-Schema
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Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.
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Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt:
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$$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$
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Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:
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![](Horner%20Method.png)
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**1. Nullstelle aufschreiben**
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Im Bild rot markiert
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**2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben**
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Zu sehen im Bild in der obersten Reihe.
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Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden.
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**4. Startwert notieren**
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Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt.
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**5. Berechnung**
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In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten.
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Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle.
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> **Note:**
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> Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen.
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>
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> Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten:
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> $$3x^2 + 3x - 12$$
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>
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> Verdeutlicht:
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> $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$
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## Stammfunktion
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Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen[^Derivation].
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Alle Ableitungsregeln können unter [Ableitungen][Derivation] nachgeschlagen werden.
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## Integrale
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Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:
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<p id="example"></p>
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**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$**
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Integrale haben folgende Erscheinungsform:
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$$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$
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Die Zeichen haben folgende Bedeutung:
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- $\int$: Integrations-Zeichen
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- $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll)
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- $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll)
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- $f(x)$: Zu integrierende Funktion
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- $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden.
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### Integration von Produkten
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Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren.
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Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben.
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#### Integration durch Substitution
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Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel:
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$$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
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Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt:
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$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$
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**1. Funktionen bestimmen**
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Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.
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- $u(x) = x^2$
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- $g(x) = \cos(u)$
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- $f(x) = g(u(x))$
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**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**
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Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden:
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$$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$
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Das ergibt in diesem Beispiel folgendes:
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$$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$
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**3. Substitution**
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Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden:
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$$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
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Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss.
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Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**.
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$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx =
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\int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$
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Vereinfacht ergibt das folgendes:
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$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
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**4. Resultat berechnen**
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$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$
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Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen.
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Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes:
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$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$
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**5. Rücksubstitution**
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Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden:
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$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$
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#### Partielle Integration
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Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
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$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
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Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:
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$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$
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Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden:
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**1. Unterfunktionen bestimmen**
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Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden.
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- $u'(x) = sin(x)$
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- $v(x) = x$
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**2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen**
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- $u(x) = -\cos(x)$
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- $v'(x) = 1$
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**3. Resultat berechnen**
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Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
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$$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
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$$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$
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$$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$
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$$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$
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$$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$
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$$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$
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> **Note:**
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> Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird.
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>
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> Beispiel:
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>
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> $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$
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#### Partialbruchzerlegung
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Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein.
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Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt:
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$$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$
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Folgende Schritte müssen durchgeführt werden:
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**1. Nullstellen des Nenners bestimmen**
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Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$)
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Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:
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![](PartInteg.png)
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Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$
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Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$.
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**2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen**
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- Für einfache Nullstellen:
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$$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$
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- Für doppelte Nullstellen:
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$$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$
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- Für $r$-fache Nullstellen:
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$$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$
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Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes:
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$$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$
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**3. Brüche gleichnamig machen**
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$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$
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Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden:
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$$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$
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**4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen**
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Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen:
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$$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$
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- $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben:
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$$A + B = 0$$
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- $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben:
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$$C - 4A - 3B = 1$$
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- $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben:
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$$4A + 2B - C = 1$$
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Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate:
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- $A = 2$
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- $B = -2$
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- $C = 3$
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Daraus ergibt sich folgendes:
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$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$
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**5. Integration der Teilbrüche**
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Für Nenner ohne Exponent:
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$$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$
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Für Nenner mit Exponent:
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$$\begin{split}
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\int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\
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& = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\
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& = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c
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\end{split}$$
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Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:
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$$\begin{split}
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\int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
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||||
& = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
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||||
& = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
|
||||
\end{split}$$
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#### Leitfaden
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![](ProductInt.png)
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[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]
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[Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md
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