diff --git a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md index 099b213..dacc47e 100644 --- a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md +++ b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md @@ -62,6 +62,7 @@ - [Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen](#iterative-verfahren-zur-lösung-von-gleichungssystemen) - [$LDR$-Zerlegung](#ldr-zerlegung) - [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren) + - [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren) - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben) - [Glossar](#glossar) @@ -1113,6 +1114,31 @@ $$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot +### Gauss-Seidel-Verfahren +Das Gauss-Seidel-Verfahren konvergiert schneller als das Jacobi-Verfahren. + +Da für die Berechnung des Jacobi-Verfahrens für die Berechnung von $x_2$ auch Werte von $x_1$ verwendet werden, können die Werte direkt aus der aktuellen Iteration $k$ wiederverwendet werden, um den Vorgang schneller konvergieren zu lassen. + +Das Gauss-Seidel-Verfahren wird auch **Einzelschrittverfahren** genannt. + +
+ +***Gauss-Seidel-Verfahren:*** + +$$x^(k+1) = -(D + L)^{-1} \cdot R \cdot x^{(k)} + (D + L)^{-1} \cdot b$$ + +Für die Berechnung einzelner Vektor-Komponente wiederum: + +Für $i$ von $1$ bis $n$: + +$$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot + \left( + b_i - \sum_{j = 1}^{i - 1} a_{ij} \cdot x^{k + 1}_j - + \sum_{j = i + 1}^n a_{ij} \cdot x^{(k)}_j + \right)$$ + +
+ ## Formelbuchstaben