Add theory for numeric calc of EV/EW

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Manuel Thalmann 2023-01-12 01:07:31 +01:00
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@ -66,6 +66,8 @@
- [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen) - [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
- [Rechen-Regeln](#rechen-regeln) - [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
- [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren) - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
- [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
- [Theorie](#theorie)
- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben) - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
- [Glossar](#glossar) - [Glossar](#glossar)
@ -1486,6 +1488,49 @@ Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda
</div> </div>
### Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren
#### Theorie
<div class="formula">
***Ähnliche Matrizen:***
Eine Matrix $B$ ist zu einer Matrix $A$ ähnlich, wenn für eine beliebige Matrix $T$ gilt:
$$B = T^{-1} \cdot A \cdot T$$
***Diagonalisierbarkeit:***
Eine Matrix $A$ ist _diagonalisierbar_, wenn für eine Matrix $T$ das Ergebnis $D$ von
$$D = T^{-1} \cdot A \cdot T$$
eine Diagonalmatrix ist.
</div>
<div class="letters">
- $A$: Beliebige Matrix
- $B$: Ergebnis einer Transformation der Matrix $A$
- $D$: Ergebnis einer Transformation der Matrix $A$, welche eine Diagonalmatrix ist
- $T$: Beliebige Transformations-Matrix
</div>
<div class="formula">
***Eigenwerte und Eigenvektoren ähnlicher/diagonalisierbarer Matrizen:***
- Es seien $A$ und $B$ zueinander ähnliche Matrizen
- $A$ und $B$ haben dieselben Eigenwerte inkl. deren algebraische Vielfachheit
- Ist $x$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $B$, so ist $T \cdot x$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $A$
- Wenn $A$ diagonalisierbar ist gilt zudem folgendes:
- Für $D = T^{-1} \cdot A \cdot T$
- Die $n$ Diagonal-Elemente von $D$ sind die Eigenwerte von $A$
- Die $n$ linear unabhängigen Eigenvektoren von $A$ sind die Spalten des verwendeten $T$
</div>
## Formelbuchstaben ## Formelbuchstaben
<div class="letters"> <div class="letters">
@ -1509,6 +1554,7 @@ Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda
- $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung - $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
- $R$: Obere Dreiecksmatrix - $R$: Obere Dreiecksmatrix
- $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben) - $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben)
- $T$: Transformations-Matrix
- $x$: Darzustellender Wert - $x$: Darzustellender Wert
- $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$ - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$ - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$