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- [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
- [Theorie](#theorie)
- [$QR$-Verfahren](#qr-verfahren)
+ - [Vektor-Iteration](#vektor-iteration)
- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
- - [Glossar](#glossar)
## Einführung
### Einsatzgebiet
@@ -1582,6 +1582,57 @@ def EV(A, iterations):
return [A, P]
```
+### Vektor-Iteration
+
+Die Vektor-Iteration, auch **von-Mises-Iteration** genannt, erlaubt das Bestimmen des grössten Eigenwertes $\lambda$ einer diagonalisierbaren Matrix $A$.
+
+
+
+***Spektral-Radius:***
+
+Der Spektral-Radius $\rho(A)$ definiert den höchsten Eigenwert der Matrix $A$:
+
+$$\rho(A) = \max\{|\lambda|\; | \; \lambda \text{ ist ein Eigenwert von }A \in \mathbb{R}^{n \times n}\}$$
+
+
+
+
+Sei $A$ eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ wobei $\lambda_1$ betragsmässig am höchsten ist:
+
+$$|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge \dots \ge | \lambda_n|$$
+
+Der grösste Eigenwert $\lambda_1$ und der dazugehörige Eigenvektor $v$ lässt sich mit der Vektor-Iteration bestimmen.
+
+Zunächst muss ein beliebiger Startvektor $v_0 \in \mathbb{C}^n$ mit Länge $1$ gewählt werden.
+
+Als nächstes wird für $k = 0, \dots, \infin$ folgendes ausgeführt:
+
+$$v^{(k + 1)} = \frac{A \cdot v^{(k)}}{||A \cdot v^{(k)}||_2}$$
+
+$$\lambda^{(k + 1)} = \frac{(v^{(k)})^T \cdot A \cdot v^{(k)}}{(v^{(k)})^T \cdot v^{(k)}}$$
+
+
+
+***Code-Beispiel:***
+
+```py
+from numpy import array, linalg
+
+def vectorIteration(A, v, iterations = 10):
+ l = 0
+ v = array(v)
+ v = v.reshape(len(v), 1)
+ for i in range(iterations):
+ l = ((v.T @ A @ v) / (v.T @ v)).item()
+ v = (A @ v) / (linalg.norm(A @ v, ord=2))
+ print()
+ print(f"k: {i + 1}")
+ print(f"x: {v}")
+ print(f"λ: {l}")
+
+ return [v, l]
+```
+
## Formelbuchstaben
@@ -1611,7 +1662,6 @@ def EV(A, iterations):
- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
- $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
- $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
+ - $\rho(A)$: Spektral-Radius der Matrix $A$ (siehe Vektor-Iteration)
-
-## Glossar