From 9d75bf669c55a62c64a297d33071b026bf6b41ca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manuel Thalmann <m@nuth.ch>
Date: Thu, 12 Jan 2023 02:24:12 +0100
Subject: [PATCH] Add chapter concerning vector iteration

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@@ -69,8 +69,8 @@
     - [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
       - [Theorie](#theorie)
       - [$QR$-Verfahren](#qr-verfahren)
+    - [Vektor-Iteration](#vektor-iteration)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
-  - [Glossar](#glossar)
 
 ## Einführung
 ### Einsatzgebiet
@@ -1582,6 +1582,57 @@ def EV(A, iterations):
     return [A, P]
 ```
 
+### Vektor-Iteration
+
+Die Vektor-Iteration, auch **von-Mises-Iteration** genannt, erlaubt das Bestimmen des grössten Eigenwertes $\lambda$ einer diagonalisierbaren Matrix $A$.
+
+<div class="formula">
+
+***Spektral-Radius:***
+
+Der Spektral-Radius $\rho(A)$ definiert den höchsten Eigenwert der Matrix $A$:
+
+$$\rho(A) = \max\{|\lambda|\; | \; \lambda \text{ ist ein Eigenwert von }A \in \mathbb{R}^{n \times n}\}$$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+Sei $A$ eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ wobei $\lambda_1$ betragsmässig am höchsten ist:
+
+$$|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge \dots \ge | \lambda_n|$$
+
+Der grösste Eigenwert $\lambda_1$ und der dazugehörige Eigenvektor $v$ lässt sich mit der Vektor-Iteration bestimmen.
+
+Zunächst muss ein beliebiger Startvektor $v_0 \in \mathbb{C}^n$ mit Länge $1$ gewählt werden.
+
+Als nächstes wird für $k = 0, \dots, \infin$ folgendes ausgeführt:
+
+$$v^{(k + 1)} = \frac{A \cdot v^{(k)}}{||A \cdot v^{(k)}||_2}$$
+
+$$\lambda^{(k + 1)} = \frac{(v^{(k)})^T \cdot A \cdot v^{(k)}}{(v^{(k)})^T \cdot v^{(k)}}$$
+
+</div>
+
+***Code-Beispiel:***
+
+```py
+from numpy import array, linalg
+
+def vectorIteration(A, v, iterations = 10):
+    l = 0
+    v = array(v)
+    v = v.reshape(len(v), 1)
+    for i in range(iterations):
+        l = ((v.T @ A @ v) / (v.T @ v)).item()
+        v = (A @ v) / (linalg.norm(A @ v, ord=2))
+        print()
+        print(f"k: {i + 1}")
+        print(f"x: {v}")
+        print(f"λ: {l}")
+
+    return [v, l]
+```
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
@@ -1611,7 +1662,6 @@ def EV(A, iterations):
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
   - $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
   - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
+  - $\rho(A)$: Spektral-Radius der Matrix $A$ (siehe Vektor-Iteration)
 
 </div>
-
-## Glossar