diff --git a/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/EulerSteps.png b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/EulerSteps.png new file mode 100644 index 0000000..8d38f4f Binary files /dev/null and b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/EulerSteps.png differ diff --git a/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md index fd953c7..a6dacbd 100644 --- a/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md +++ b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md @@ -359,9 +359,52 @@ Differentialgleichungen 1. Ordnung lassen sich als Richtungsfelder darstellen:

+Obig zu sehen ist das Richtungsfeld für die Differentialgleichung $y' = x - y + 1$. + Die Striche zeigen jeweils die Steigung, die das Resultate der Differentialgleichung mit dem entsprechenden $x$- und $y$-Wert hat. Hierbei steht $0$ für keine Steigung (waagerecht), -1 für eine 45°-Senkung nach unten und 1 für eine 45°-Steigung nach oben. + +Alternativ lässt sich die Differentialgleichung auch in tabellarischer Form für $y'$ darstellen: + +| $f'(x_0, y_0)$ | $x_0 = -3$ | $x_0 = -2$ | $x_0 = -1$ | $x_0 = 0$ | $x_0 = 1$ | $x_0 = 2$ | $x_0 = 3$ | +| :------------: | :--------: | :--------: | :--------: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: | +| $y_0 = 2$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | +| $y_0 = 1$ | $-3$ | $-2 | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | +| $y_0 = 0$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | +| $y_0 = -1$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | +| $y_0 = -2$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | + +#### Euler-Schritte +Ein Weg, um eine Lösung für eine Differentialgleichung zu approximieren ist die Methode der Euler-Schritte. + +![](EulerSteps.png) + +Beispiel mit folgenden Parametern: +$y' = x + y, x_0 = 0, y_0 = 1, h = 1$ + +| Steigung Gerade | Berechnung | Beispiel | +| -------------------------------------------- | --------------------------------- | ---------------------------- | +| $g_0\text{: } m_0 = F(x_0, y_0) = x_0 + y_0$ | $x_1 = x_0 + h$ | $= 0 + 1 = 1$ | +| Im Beispiel: $1$ | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_0, y_0)$ | $= 1 + 1 \cdot (0 + 1) = 2$ | +| $g_1\text{: } m_1 = F(x_1, y_1) = x_1 + y_1$ | $x_1 = x_0 + h$ | $= 1 + 1 = 2$ | +| Im Beispiel: $3$ | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_1, y_1)$ | $= 2 + 1 \cdot (1 + 2) = 5$ | +| $g_2\text{: } m_2 = F(x_2, y_2) = x_2 + y_2$ | $x_3 = x_2 + h$ | $= 2 + 1 = 3$ | +| Im Beispiel: $7$ | $y_3 = y_2 + h \cdot F(x_2, y_2)$ | $= 5 + 1 \cdot (2 + 5) = 12$ | +| etc. | etc. | etc. | + +Den Abstand zwischen den einzelnen Euler-Schritte $h$ kann hierbei frei gewählt werden. Je kleiner $h$ gewählt wird, desto genauer wird das Resultat. + +### Separierbare Differentialgleichungen +#### Definition +Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _separierbar-, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt: +$$y' = f(x) \cdot g(y)$$ + +> #### Beispiele +> - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar +> - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar + + [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation] [Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md \ No newline at end of file