diff --git a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md index 2ba8120..e236f87 100644 --- a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md +++ b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md @@ -1,3 +1,19 @@ +<style> + .formula, .letters { + color: black; + padding: 0.5rem; + border: solid black 2px; + } + + .formula { + background: lightblue; + } + + .letters { + background: lightyellow; + } +</style> + # Höhere Mathematik ## Inhalt - [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik) @@ -64,33 +80,51 @@ Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt. ### Grenzen von Maschinenzahlen +<div class="formula"> + $x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$ $x_min = B^{e_{min} - 1}$ +</div> + ### Datentypen gem. IEEE `float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$ `double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$ ### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit +<div class="formula"> + Absoluter Fehler: $$|\tilde{x} - x|$$ +</div> +<div class="formula"> + Relativer Fehler: $$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$ +</div> +<div class="formula"> + Maximaler **absoluter** Rundungsfehler: $$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$ +</div> +<div class="formula"> + **Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler: $$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$ +</div> +<div class="formula"> + Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung: Relativ: @@ -101,6 +135,9 @@ Absolut: $$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$ +</div> +<div class="letters"> + - $B$: Die Basis der Maschinenzahl - $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$) - $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$ @@ -108,6 +145,8 @@ $$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$ - $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$ - $f$: Auszuwertende Funktion +</div> + ### Konditionszahl Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist. @@ -115,9 +154,17 @@ Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine h Formel: +<div class="formula"> + +Konditionszahl: + $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$ +</div> + ## Formelbuchstaben +<div class="letters"> + - $B$: Basis der Maschinenzahl - $e$: Exponent der Maschinenzahl - $K$: Konditionszahl @@ -125,4 +172,7 @@ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$ - $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$ - $x$: Darzustellender Wert - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$ + +</div> + ## Glossar