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# Höhere Mathematik
## Inhalt
- [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik)
@@ -64,33 +80,51 @@ Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn
Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.
### Grenzen von Maschinenzahlen
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$x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$
$x_min = B^{e_{min} - 1}$
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### Datentypen gem. IEEE
`float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$
`double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$
### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
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Absoluter Fehler:
$$|\tilde{x} - x|$$
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Relativer Fehler:
$$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
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Maximaler **absoluter** Rundungsfehler:
$$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$
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**Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler:
$$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$
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Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:
Relativ:
@@ -101,6 +135,9 @@ Absolut:
$$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
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- $B$: Die Basis der Maschinenzahl
- $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$)
- $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$
@@ -108,6 +145,8 @@ $$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
- $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$
- $f$: Auszuwertende Funktion
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### Konditionszahl
Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.
@@ -115,9 +154,17 @@ Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine h
Formel:
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+Konditionszahl:
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$$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
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## Formelbuchstaben
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- $B$: Basis der Maschinenzahl
- $e$: Exponent der Maschinenzahl
- $K$: Konditionszahl
@@ -125,4 +172,7 @@ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
- $x$: Darzustellender Wert
- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
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## Glossar