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Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -63,6 +63,7 @@
     - [$LDR$-Zerlegung](#ldr-zerlegung)
     - [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
     - [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren)
+    - [Konvergenz](#konvergenz)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -1139,6 +1140,79 @@ $$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot
 
 </div>
 
+### Konvergenz
+
+<div class="formula">
+
+***Anziehung/Abstossung:***
+
+Gegeben sei eine Fixpunkt-Iteration:
+
+$$x^{(n + 1)} = B \cdot x^{(n)} + c =: F(x^{(n)})$$
+
+Beispiele für solche Fixpunkt-Iterationen sind das Jacobi- oder das Gauss-Seidel-Verfahren.
+
+Falls folgendes gegeben ist: $\tilde{x} = B \cdot \tilde{x} + c = F(\tilde{x})$, dann gilt:
+
+  - $\tilde{x}$ ist ein anziehender Fixpunkt, falls $||B|| < 1$
+  - $\tilde{x}$ ist ein abstossender Fixpunkt, falls $||B|| > 1$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Abschätzungen:***
+
+Gegeben sei eine Fixpunkt-Iteration:
+
+$$x^{(n + 1)} = B \cdot x^{(n)} + c =: F(x^{(n)})$$
+
+Für Fixpunkt-Iterationen bei denen $x^{(k)}$ gegen $\tilde{x}$ konvergiert (gemäss oben stehender Formel "Anziehung/Abstossung"), gelten folgende Abschätzungen:
+
+a-priori Abschätzung:
+
+$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
+  \frac{||B||^n}{1 - ||B||} \cdot
+  ||x^{(1)} - x^{(0)}||$$
+
+a-posteriori Abschätzung:
+
+$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
+  \frac{||B||}{1 - ||B||} \cdot
+  ||x^{(n)} - x^{(n - 1)}||$$
+
+</div>
+
+Die Matrix $B$ hat hierbei je nach verwendetem Verfahren einen anderen Wert:
+
+<div class="formula">
+
+***Matrix $B$ für Abschätzung und Konvergenz***
+
+  - Für das Jacobi-Verfahren:
+    $$B = -D^{-1} \cdot (L + R)$$
+  - Für das Gauss-Seidel-Verfahren
+    $$B = -(D + L)^{-1} \cdot R$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Diagonal-Dominanz:***
+
+Die Matrix $A$ ist diagonal-dominant, falls eines der folgenden Kriterien zutrifft:
+
+  - Zeilensummen-Kriterium:
+    - Für alle $i = 1, \dots, n$ gilt:
+      $$|a_{ii}| > \sum_{j = 1, i \not = j}^n{|a_{ij}|}$$
+  - Spaltensummen-Kriterium:
+    - Für alle $i = 1, \dots, n$ gilt:
+      $$|a_{jj}| > \sum_{i = 1, i \not = j}{|a_{ij}|}$$
+
+Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- und das Gauss-Seidel-Verfahren konvergieren.
+
+</div>
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">