From b9e387d39447a29ace0b0bb42775b01ca586f8ba Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manuel Thalmann <m@nuth.ch>
Date: Wed, 11 Jan 2023 17:51:08 +0100
Subject: [PATCH] Add chapter on errors in matrices

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index a5f830d..ecadd16 100644
--- a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md	
+++ b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md	
@@ -56,6 +56,8 @@
     - [$QR$-Zerlegung](#qr-zerlegung)
       - [Housholder-Matrizen](#housholder-matrizen)
       - [Vorgang](#vorgang)
+    - [Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen](#fehlerrechnung-bei-linearen-gleichungssystemen)
+      - [Vektor- und Matrixnormen](#vektor--und-matrixnormen)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -881,9 +883,125 @@ def qrSolve(A, b):
         Qi[i:,i:] = H
         R = Qi @ R
         Q = Q @ Qi.T
+        R[i + 1:,i:i + 1] = zeros((n - (i + 1), 1))
     return linalg.solve(R, Q.T @ b)
 ```
 
+### Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen
+Ähnlich wie herkömmliche Gleichungen, können Gleichungssysteme nicht mit eindeutiger Genauigkeit berechnet werden. Es entsteht ein Fehler.
+
+<div class="formula">
+
+***Fehler bei linearen Gleichungssystemen:***
+
+$$A \cdot \tilde{x} = \tilde{b} = b + \Delta b$$
+
+$$\Delta x = \tilde{x} - x$$
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $A$: Matrix eines linearen Gleichungssystems
+  - $b$: Gewünschtes Ergebnis des Gleichungssystems
+  - $\tilde{b}$: Ergebnis des Gleichungssystems unter Verwendung von $\tilde{x}$ in $A \cdot \tilde{x}$
+  - $\Delta b$: Residuum: Die Differenz von $b$ und $\tilde{b}$
+  - $x$: Genaue Lösung
+  - $\tilde{x}$: Näherungslösung von $x$
+  - $\Delta x$: Der Fehler der Näherungslösung $\tilde{x}$
+
+</div>
+
+#### Vektor- und Matrixnormen
+
+<div class="formula">
+
+***Vektornormen:***
+
+$1$-Norm, Summen-Norm:
+
+$$||x||_1 = \sum_{i = 1}^n|x_i|$$
+
+$2$-Norm, euklidische Norm:
+
+$$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}$$
+
+$\infin$-Norm, Maximum-Norm:
+
+$$||x||_\infin = \max_{i = 1, \dots, n}|x_i|$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Matrixnormen:***
+
+$1$-Norm, Spaltensummen-Norm:
+
+$$||A||_1 = \max_{j=1, \dots, n}\sum_{i = 1}^n|a_{ij}|$$
+
+$2$-Norm, Spektral-Norm:
+
+$$||A||_2 = \sqrt{\rho(A^T \cdot A)}$$
+
+$\infin$-Norm, Zeilensummen-Norm:
+
+$$||A||_\infin = \max_{i = 1, \dots, n}\sum_{j = 1}^n|a_{ij}|$$
+
+</div>
+
+Folgendes gilt für die Abschätzung von Vektoren und Matrizen:
+
+<div class="formula">
+
+***Fehlerabschätzung von Vektoren und Matrizen:***
+
+Für die Gleichung $A \cdot x = b$ und die dazugehörige Approximation $A \cdot \tilde{x} = \tilde{b}$ gilt:
+
+Absoluter Fehler:
+
+$$||x - \tilde{x}|| \le ||A^{-1}|| \cdot ||b - \tilde{b}||$$
+
+Falls $||b|| \not = 0$ gilt zudem:
+
+Relativer Fehler:
+
+$$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le ||A|| \cdot ||A^{-1}|| \cdot \frac{||b - \tilde{b}||}{||b||}$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Konditionszahl:***
+
+Die Konditionszahl $cond(A)$ einer Matrix $A$ berechnet sich wie folgt:
+
+$$cond(A) = ||A|| \cdot ||A^{-1}||$$
+
+Eine hohe Konditionszahl $cond(A)$ bedeutet, dass kleine Fehler im Vektor $b$ zu grossen Fehlern im Ergebnis $x$ führen können. In diesem Fall ist eine Matrix schlecht konditioniert.
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Fehlerabschätzung von Matrizen mit Fehlern:***
+
+Sollte auch die Matrix $A$ fehlerhaft sein (fehlerhafte Matrix $\tilde{A}$), gilt der nachstehende Satz unter folgender Bedingung:
+
+$$cond(A) \cdot \frac{||A - \tilde{A}||}{||A||} < 1$$
+
+dann gilt:
+
+Relativer Fehler:
+
+$$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le
+  \frac{cond(A)}{1 - cond(A) \cdot \frac{||A - \tilde{A}||}{||A||}} \cdot
+  \left(
+    \frac{||A - \tilde{A}||}{||A||} +
+    \frac{||b - \tilde{b}||}{||b||}
+  \right)$$
+
+</div>
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">