From beda0e3dec38fc80854595be49cbc0125cd57143 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manuel Thalmann <m@nuth.ch>
Date: Wed, 11 Jan 2023 18:59:38 +0100
Subject: [PATCH] Add chapter about the Jacobi method

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--- a/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md	
+++ b/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md	
@@ -58,6 +58,10 @@
       - [Vorgang](#vorgang)
     - [Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen](#fehlerrechnung-bei-linearen-gleichungssystemen)
       - [Vektor- und Matrixnormen](#vektor--und-matrixnormen)
+    - [Aufwand-Abschätzung](#aufwand-abschätzung)
+  - [Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen](#iterative-verfahren-zur-lösung-von-gleichungssystemen)
+    - [$LDR$-Zerlegung](#ldr-zerlegung)
+    - [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -1002,6 +1006,113 @@ $$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le
 
 </div>
 
+### Aufwand-Abschätzung
+
+<div class="formula">
+
+***Kennzahlen:***
+
+Lösung Linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von...
+
+Gauss-Elimination:
+
+$$\frac{2}{3}n^3 + \frac{5}{2}n^2 - \frac{13}{6}n$$
+
+$LR$-Zerlegung:
+
+$$\frac{2}{3}n^3 + \frac{7}{2}n^2 + \frac{13}{6}n$$
+
+$QR$-Zerlegung:
+
+$$\frac{5}{3}n^3 + 4n^2 + \frac{7}{3}n - 7$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Ordnung $O(n)$***
+
+Die Ordnung $O(n)$ der zuvor genannten Verfahren entspricht der höchsten Potenz von $n$, welche in der Formel zur Berechnung des Aufwands vorkommt.
+
+Das bedeutet also folgendes:
+
+Ordnung von Gauss-Elimination, $LR$-Zerlegung und $QR$-Zerlegung:
+
+$$O(n^3)$$
+
+</div>
+
+## Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen
+### $LDR$-Zerlegung
+
+Für die $LDR$-Zerlegung wird die Matrix $A$ in drei Matrizen $L$, $D$ und $R$ aufgeteilt, wobei $L$ eine untere Dreiecksmatrix, $D$ eine Diagonalmatrix und $R$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Das bedeutet:
+
+$$A = L + D + R$$
+
+Mit
+
+$$L = \left(
+  \begin{matrix}
+    0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+    a_{21} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+    a_{31} & a_{32} & 0 & \cdots & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn - 1} & 0
+  \end{matrix}
+  \right)$$
+$$D = \left(
+    \begin{matrix}
+      a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+      0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
+      0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\
+      \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+      0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn}
+    \end{matrix}
+  \right)$$
+
+$$R = \left(
+    \begin{matrix}
+      0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
+      0 & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
+      0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\
+      \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\
+      0 & 0 & \cdots & 0 & 0
+    \end{matrix}
+  \right)$$
+
+> ***Wichtig:***  
+> Hierbei handelt es sich nicht um $L$ und $R$ aus der $LR$-Zerlegung!
+
+### Jacobi-Verfahren
+
+Das Jacobi-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, welches nach jeder Iteration näher mit der tatsächlichen Lösung $x$ konvergiert.
+
+Das Jacobi-Verfahren ist auch bekannt als **Gesamtschrittverfahren**.
+
+<div class="formula">
+
+***Jacobi-Verfahren:***
+
+Zunächst beginnt man mit $x^{(0)}$ als ein Vektor, der nur aus $0$en besteht.
+
+$$x^{(k + 1)} = -D^{-1} \cdot (L + R) \cdot x^{(k)} + D^{-1} \cdot b$$
+
+Für die Berechnung einzelner Elemente des Vektors $x^{(k + 1)}$ gilt:
+
+Für $i$ von $1$ bis $n$:
+
+$$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot
+\left(
+  b_i - \sum_{j = 1,j \not = i}^n a_{ij} \cdot x^{(k)}_j
+\right)$$
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $x^{(k)}$: Die Annäherung an $x$ nach der $k$-ten Iteration
+
+</div>
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
@@ -1025,6 +1136,7 @@ $$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le
   - $x$: Darzustellender Wert
   - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
+  - $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
 
 </div>