From d91b81f13d025cb88ba914a37c145a16160c2914 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manuel Thalmann <m@nuth.ch>
Date: Sun, 19 Jun 2022 20:01:30 +0200
Subject: [PATCH] Add further notes about integrals
---
.../AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md | 58 ++++++++++++++++++-
1 file changed, 56 insertions(+), 2 deletions(-)
diff --git a/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md
index 9ff254c..2353f51 100644
--- a/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md
+++ b/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md
@@ -60,6 +60,55 @@
</script>
# Zusammenfassung Analysis 2
+## Inhalt
+- [Zusammenfassung Analysis 2](#zusammenfassung-analysis-2)
+ - [Inhalt](#inhalt)
+ - [Nullstellen durch Horner-Schema](#nullstellen-durch-horner-schema)
+ - [Stammfunktion](#stammfunktion)
+ - [Integrale](#integrale)
+ - [Grundintegrale](#grundintegrale)
+ - [Integration von Produkten](#integration-von-produkten)
+ - [Integration durch Substitution](#integration-durch-substitution)
+ - [Partielle Integration](#partielle-integration)
+ - [Partialbruchzerlegung](#partialbruchzerlegung)
+ - [Leitfaden](#leitfaden)
+ - [Uneigentliche Integrale](#uneigentliche-integrale)
+ - [Uneigentlicher Integrationsbereich](#uneigentlicher-integrationsbereich)
+ - [Differentialgleichungen](#differentialgleichungen)
+ - [Gewöhnliche Differentialgleichungen](#gewöhnliche-differentialgleichungen)
+ - [Differentialgleichungen 1. Ordnung](#differentialgleichungen-1-ordnung)
+ - [Euler-Schritte](#euler-schritte)
+ - [Separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen)
+ - [Definition](#definition)
+ - [Lösungsweg](#lösungsweg)
+ - [Beispiel](#beispiel)
+ - [Autonome Differentialgleichung](#autonome-differentialgleichung)
+ - [Beispiele](#beispiele)
+ - [Lösungsweg](#lösungsweg-1)
+ - [Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung](#lineare-differentialgleichung-1-ordnung)
+ - [Lösungswege](#lösungswege)
+ - [Lösung durch Variabel-Separierung](#lösung-durch-variabel-separierung)
+ - [Lösung durch Variation der Konstanten](#lösung-durch-variation-der-konstanten)
+ - [Anwendung der Integralrechnung](#anwendung-der-integralrechnung)
+ - [Der Mittelwert](#der-mittelwert)
+ - [Die Arbeit](#die-arbeit)
+ - [Rotationskörper](#rotationskörper)
+ - [Rotationskörper um die $x$-Achse](#rotationskörper-um-die-x-achse)
+ - [Rotationskörper um die $y$-Achse](#rotationskörper-um-die-y-achse)
+ - [Mantelfläche eines Rotationskörpers](#mantelfläche-eines-rotationskörpers)
+ - [Bogenlänge einer Kurve](#bogenlänge-einer-kurve)
+ - [Schwerpunkt](#schwerpunkt)
+ - [Schwerpunkt eines Rotationskörpers](#schwerpunkt-eines-rotationskörpers)
+ - [Taylor-Reihen](#taylor-reihen)
+ - [Herleitung](#herleitung)
+ - [Polynom durch Stützpunkte Legen](#polynom-durch-stützpunkte-legen)
+ - [Beispiel](#beispiel-1)
+ - [Lokale Approximation](#lokale-approximation)
+ - [Taylor-Polynom](#taylor-polynom)
+ - [Taylor-Reihe](#taylor-reihe)
+ - [Konvergenz](#konvergenz)
+ - [Potenzreihen](#potenzreihen)
+
## Nullstellen durch Horner-Schema
Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.
@@ -148,7 +197,7 @@ $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$
Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.
- $u(x) = x^2$
- - $g(x) = \cos(u)$
+ - $g(x) = \cos(u) \cdot x$
- $f(x) = g(u(x))$
**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**
@@ -195,10 +244,15 @@ Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert w
$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$
#### Partielle Integration
-Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
+Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
+Bestimmt:
$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
+Unbestimmt:
+
+$$\int{u'(x) \cdot v(x)}dx = u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
+
Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:
$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$