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@ -5,6 +5,7 @@
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color: black;
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margin-bottom: 0.5rem;
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}
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.formula p:last-child, .letters p:last-child {
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@ -52,6 +53,9 @@
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- [Fehlerfortpflanzung und Pivotisierung](#fehlerfortpflanzung-und-pivotisierung)
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- [Determinanten-Bestimmung](#determinanten-bestimmung)
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- [Die $LR$-Zerlegung](#die-lr-zerlegung)
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- [$QR$-Zerlegung](#qr-zerlegung)
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- [Housholder-Matrizen](#housholder-matrizen)
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- [Vorgang](#vorgang)
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- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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- [Glossar](#glossar)
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@ -721,6 +725,164 @@ Wenn die $LR$-Zerlegung, wie in diesem Code, Zeilenaustausch und das Berechnen v
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2. Mit Hilfe des Gauss-Algorithmus $L \cdot y = P \cdot b$ nach $y$ auflösen
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3. Mit Hilfe des Gauss-Algorithmus $R \cdot x = y$ nach $x$ auflösen
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### $QR$-Zerlegung
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- Die Matrix $A$ wird in eine orthogonale Matrix $Q$ und eine obere Dreiecksmatrix $R$ zerlegt.
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- Orthogonal-Matrizen beschreiben Drehungen, Spiegelungen oder Kombinationen daraus.
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- Eine $QR$-Zerlegung erfordert ca. $\frac{5}{3}n^3$ Punktoperationen - ca. doppelt so viel wie die $LR$-Zerlegung.
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<div class="formula">
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***Orthogonal-Matrix:***
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Eine Matrix $Q$ ist orthogonal, wenn folgendes gilt:
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$$Q^T \cdot Q = I_n$$
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($x^T$ steht hierbei für eine **T**ransformation)
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</div>
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#### Housholder-Matrizen
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Im Rahmen der Berechnung der Matrizen $Q$ und $R$ werden sogenannte "Housholder-Matrizen" berechnet.
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<div class="formula">
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***Housholder-Matrizen:***
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Sei $u$ ein Vektor mit beliebig vielen Dimensionen, für den gilt:
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$$|u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2} = 1$$
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Die Householder-Matrix hat folgende Eigenschaft:
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$$H := I_n - 2 \cdot u \cdot u^T$$
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Für Housholder-Matrizen gilt zudem folgendes:
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$$H = H^T = H^{-1}$$
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und
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$$H \cdot H = I_n$$
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</div>
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***Berechnung einer Housholder-Matrix***
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Beispiel der Berechnung einer Housholder-Matrix zur ersten Spalte der Matrix $A$.
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> Für die Berechnung wird ein Einheitsvektor $e$ benötigt, welcher genauso viele Werte hat, wie die Matrix Dimensionen. Ein Einheitsvektor hat im ersten Feld den Wert $1$ und in allen anderen Feldern der Wert $0$.
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>
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> Für eine Matrix $A$ mit der Dimension $n = 3$ lautet der Einheitsvektor $e$ also wie folgt:
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> $$e = \left(\begin{matrix}
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> 1 \\
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||||
> 0 \\
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||||
> 0
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> \end{matrix}\right)
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1. Vektor $v$ bestimmen
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$$v = a_1 + sign(a_{11}) \cdot |a_1| \cdot e$$
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2. Vektor normieren:
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$$u = \frac{1}{|v|} \cdot v =
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\frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} \cdot
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||||
\left(\begin{matrix}
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||||
1 \\
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||||
2 \\
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||||
3
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||||
\end{matrix}\right) =
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||||
\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
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||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
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||||
3
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||||
\end{matrix}\right)$$
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||||
2. Die Housholder-Matrix $H = I_n - 2 \cdot u \cdot u^T$ berechnen.
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$$H =
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||||
\left(\begin{matrix}
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||||
1 & 0 & 0 \\
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||||
0 & 1 & 0 \\
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||||
0 & 0 & 1
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||||
\end{matrix}\right) -
|
||||
2 \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
|
||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
3
|
||||
\end{matrix}\right) \cdot
|
||||
\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
|
||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
1 & 2 & 3
|
||||
\end{matrix}\right) \\
|
||||
H =
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||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{matrix}\right) -
|
||||
2 \cdot \frac{1}{14} \cdot
|
||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
1 & 2 & 3 \\
|
||||
2 & 4 & 6 \\
|
||||
3 & 6 & 9
|
||||
\end{matrix}\right) =
|
||||
-\frac{1}{7} \cdot
|
||||
\left(\begin{matrix}
|
||||
-6 & 2 & 3 \\
|
||||
2 & -3 & 6 \\
|
||||
3 & 6 & 2
|
||||
\end{matrix}\right)$$
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||||
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||||
<div class="letters">
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||||
- $H$: Housholder-Matrix
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||||
- $I$: Identitäts-Matrix
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||||
- $n$: Anzahl Dimensionen der Matrix
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</div>
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#### Vorgang
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Im Rahmen des Vorgangs entspricht $A_1$ der Matrix $A$.
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Die $QR$-Zerlegung kann folgendermassen durchgeführt werden:
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1. $R = A$
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2. $Q = I_n$
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3. Für $i$ von $1$ bis $n - 1$
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1. Gemäss vorheriger Anleitung Householder-Matrix $H_i$ für die erste Spalte von $A_i$ berechnen
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2. Householder-Matrix um Identitäts-Matrix erweitern. Beispiel:
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3. Erweiterte Householder-Matrix als $Q_i$ speichern
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4. $R = Q_i \cdot R$
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5. $Q = Q \cdot Q_i^T$
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||||
***Code-Beispiel:***
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||||
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||||
```py
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||||
from numpy import array, identity, sign, sqrt, square, sum, zeros
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||||
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||||
def qrDecomposition(A):
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||||
A = array(A)
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n = A.shape[0]
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||||
R = A.reshape((n, n))
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||||
Q = identity(n)
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||||
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||||
for i in range(n - 1):
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I = identity(n - i)
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||||
Qi = identity(n)
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||||
e = zeros((n - i, 1))
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||||
e[0][0] = 1
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||||
a = R[i:,i:i + 1]
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||||
v = a + sign(a[0]) * sqrt(sum(square(a))) * e
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||||
u = (1 / sqrt(sum(square(v)))) * v
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||||
H = I - 2 * u @ u.T
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||||
Qi[i:,i:] = H
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||||
R = Qi @ R
|
||||
Q = Q @ Qi.T
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||||
return [Q, R]
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||||
```
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||||
## Formelbuchstaben
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<div class="letters">
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@ -728,14 +890,18 @@ Wenn die $LR$-Zerlegung, wie in diesem Code, Zeilenaustausch und das Berechnen v
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- $[a,b]$: Das Untersuchungs-Interval für den Banachschen Fixpunktsatz
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- $A$: Matrix eines linearen Gleichungssystems
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||||
- $\tilde{A}$: Umgewandelte Version der Matrix $A$
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||||
- $A^T$: Transformierte Matrix $A$
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||||
- $b$: Das gewünschte Resultat eines linearen Gleichungssystems
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||||
- $B$: Basis der Maschinenzahl
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||||
- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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||||
- $H$: Housholder-Matrix (siehe $QR$-Zerlegung)
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||||
- $I$: Identitäts-Matrix (Matrix, überall den Wert $0$ und auf der Diagonalen den Wert $1$ hat)
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||||
- $K$: Konditionszahl
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||||
- $L$: Untere Dreiecksmatrix/Normierte Matrix
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||||
- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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||||
- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
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||||
- $q$: Konvergenz-Ordnung
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||||
- $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
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||||
- $R$: Obere Dreiecksmatrix
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||||
- $x$: Darzustellender Wert
|
||||
- $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
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