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@@ -65,6 +65,7 @@
- [Konvergenz](#konvergenz)
- [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
- [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
+ - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
- [Glossar](#glossar)
@@ -1377,6 +1378,114 @@ Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
+## Eigenwerte und Eigenvektoren
+Für Matrizen $A$ gibt es Vektoren $x$ und Faktoren $\lambda$, für die gilt:
+
+$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
+
+- $x$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenvektoren** von $A$
+- $\lambda$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenwerte** von $A$
+
+
+
+***Eigenwerte und Eigenvektoren:***
+
+Falls für eine gegebene Matrix $A$, einen beliebigen Vektor $x \not = 0$ und einen beliebigen Wert $\lambda$ folgendes zutrifft:
+
+$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
+
+ - $x$ ist ein **Eigenvektor** von $A$
+ - $\lambda$ ist ein **Eigenwert** von $A$
+
+
+
+In manchen Fällen müssen für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren komplexe Vektoren $z$ normiert werden.
+
+Dies funktioniert folgendermassen:
+
+
+
+***Normierung komplexer Vektoren:***
+
+$$x = z \cdot \frac{1}{|z|} =
+ \left(
+ \begin{matrix}
+ z_1 \\
+ \vdots \\
+ z_n
+ \end{matrix}
+ \right) \cdot
+ \frac{1}{\sqrt{z_1 \cdot z_1^* + \dots + z_n \cdot z_n^*}}$$
+
+
+
+
+ - $z$: Komplexer Vektor
+ - $z_n$: $n$-te Komponente des Vektors $z$
+ - $x$: Normierter Vektor $z$
+
+
+
+
+
+***Eigenschaften von Eigenwerten:***
+
+$\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$, fals folgendes gilt:
+
+$$det(A - \lambda \cdot I_n) = 0$$
+
+
+
+
+***Eigenwerten und die Spur & Determinante von Matrizen:***
+
+ - Die Determinante einer Matrix $A$ ist das Produkt aller Eigenwerte.
+ - Die Spur (trace) - also die Summe aller Diagonalelemente - ist die Summe aller Eigenwerte
+
+$$det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \dots \lambda_n$$
+$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n$$
+
+ - Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist der Kehrwert $\frac{1}{\lambda}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$
+
+
+
+
+ - Die Vielfachheit, mit der $\lambda$ in der Determinante auftritt nennt sich **algebraische Vielfachheit** von $\lambda$
+ - Das **Spektrum** $\sigma(A)$ ist die Menge aller Eigenwerte von $A$
+
+
+
+
+***Eigenwerte in speziellen Matrizen:***
+
+Für Diagonal-Matrizen und Dreiecks-Matrizen gilt:
+ - Die Eigenwerte entsprechen den Diagonal-Elementen.
+
+
+
+
+***Eigenraum:***
+
+Als Eigenraum bezeichnet man eine beliebige Anzahl Vektoren, die alle für dein Eigenwert $\lambda$ gelten.
+
+Indem man diese Vektoren kombiniert, lassen sich beliebig viele neue Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bestimmen.
+
+Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ und der Nullvektor $0$ einen **Eigenraum** der Form $\mathbb{C}^n$
+
+ - Die Dimension des Eigenraumes von $\lambda$ bestimmt sich durch folgende Formel:
+ $$n - Rg(A - \lambda \cdot I_n)$$
+ Das Ergebnis nennt sich **geometrische Vielfachheit** und entspricht der Anzahl unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$.
+ - Die geometrische Vielfachheit ist kleiner oder gleich der **algebraischen Vielfachheit**
+
+
+
+
+ - $A$: Eine beliebige Matrix
+ - $x$: Eigenvektor einer Matrix $A$
+ - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix $A$
+
+
+
## Formelbuchstaben
@@ -1399,10 +1508,12 @@ Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
- $q$: Konvergenz-Ordnung
- $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
- $R$: Obere Dreiecksmatrix
+ - $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben)
- $x$: Darzustellender Wert
- $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
- $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
+ - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix