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Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -306,11 +306,11 @@ $$\frac{|F(x) - F(y)|}{|x - y|} \le \alpha$$
 
 a-priori Abschätzung:
 
-$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|$$
+$$|x_n - \overline{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|$$
 
 a-posteriori Abschätzung:
 
-$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|$$
+$$|x_n - \overline{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|$$
 
 </div>
 
@@ -390,7 +390,7 @@ Vorgang:
 
 Ein Verfahren hat eine Konvergenz-Ordnung $q \ge 1$, wenn es eine Konstante $c > 0$ für die für alle $n$ Iterations-Schritte gilt:
 
-$$|x_{n + 1} - \tilde{x}| \le c \cdot |x_n - \tilde{x}|^q$$
+$$|x_{n + 1} - \overline{x}| \le c \cdot |x_n - x}|^q$$
 
 </div>
 <div class="letters">
@@ -1121,7 +1121,7 @@ Das Gauss-Seidel-Verfahren wird auch **Einzelschrittverfahren** genannt.
 
 ***Gauss-Seidel-Verfahren:***
 
-$$x^(k+1) = -(D + L)^{-1} \cdot R \cdot x^{(k)} + (D + L)^{-1} \cdot b$$
+$$x^{(k+1)} = -(D + L)^{-1} \cdot R \cdot x^{(k)} + (D + L)^{-1} \cdot b$$
 
 Für die Berechnung einzelner Vektor-Komponente wiederum:
 
@@ -1166,13 +1166,13 @@ Für Fixpunkt-Iterationen bei denen $x^{(k)}$ gegen $\tilde{x}$ konvergiert (gem
 
 a-priori Abschätzung:
 
-$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
+$$||x^{(n)} - \overline{x}|| \le
   \frac{||B||^n}{1 - ||B||} \cdot
   ||x^{(1)} - x^{(0)}||$$
 
 a-posteriori Abschätzung:
 
-$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
+$$||x^{(n)} - \overline{x}|| \le
   \frac{||B||}{1 - ||B||} \cdot
   ||x^{(n)} - x^{(n - 1)}||$$
 
@@ -1660,6 +1660,7 @@ def vectorIteration(A, v, iterations = 10):
   - $x$: Darzustellender Wert
   - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
+  - $\overline{x}$: Exaktes Ergebnis von $x$
   - $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
   - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
   - $\rho(A)$: Spektral-Radius der Matrix $A$ (siehe Vektor-Iteration)