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Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

@@ -60,6 +60,55 @@
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 # Zusammenfassung Analysis 2
+## Inhalt
+- [Zusammenfassung Analysis 2](#zusammenfassung-analysis-2)
+  - [Inhalt](#inhalt)
+  - [Nullstellen durch Horner-Schema](#nullstellen-durch-horner-schema)
+  - [Stammfunktion](#stammfunktion)
+  - [Integrale](#integrale)
+    - [Grundintegrale](#grundintegrale)
+    - [Integration von Produkten](#integration-von-produkten)
+      - [Integration durch Substitution](#integration-durch-substitution)
+      - [Partielle Integration](#partielle-integration)
+      - [Partialbruchzerlegung](#partialbruchzerlegung)
+      - [Leitfaden](#leitfaden)
+  - [Uneigentliche Integrale](#uneigentliche-integrale)
+    - [Uneigentlicher Integrationsbereich](#uneigentlicher-integrationsbereich)
+  - [Differentialgleichungen](#differentialgleichungen)
+    - [Gewöhnliche Differentialgleichungen](#gewöhnliche-differentialgleichungen)
+    - [Differentialgleichungen 1. Ordnung](#differentialgleichungen-1-ordnung)
+      - [Euler-Schritte](#euler-schritte)
+    - [Separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen)
+      - [Definition](#definition)
+      - [Lösungsweg](#lösungsweg)
+      - [Beispiel](#beispiel)
+    - [Autonome Differentialgleichung](#autonome-differentialgleichung)
+      - [Beispiele](#beispiele)
+      - [Lösungsweg](#lösungsweg-1)
+    - [Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung](#lineare-differentialgleichung-1-ordnung)
+      - [Lösungswege](#lösungswege)
+        - [Lösung durch Variabel-Separierung](#lösung-durch-variabel-separierung)
+        - [Lösung durch Variation der Konstanten](#lösung-durch-variation-der-konstanten)
+  - [Anwendung der Integralrechnung](#anwendung-der-integralrechnung)
+    - [Der Mittelwert](#der-mittelwert)
+    - [Die Arbeit](#die-arbeit)
+    - [Rotationskörper](#rotationskörper)
+      - [Rotationskörper um die $x$-Achse](#rotationskörper-um-die-x-achse)
+      - [Rotationskörper um die $y$-Achse](#rotationskörper-um-die-y-achse)
+      - [Mantelfläche eines Rotationskörpers](#mantelfläche-eines-rotationskörpers)
+    - [Bogenlänge einer Kurve](#bogenlänge-einer-kurve)
+    - [Schwerpunkt](#schwerpunkt)
+    - [Schwerpunkt eines Rotationskörpers](#schwerpunkt-eines-rotationskörpers)
+  - [Taylor-Reihen](#taylor-reihen)
+    - [Herleitung](#herleitung)
+      - [Polynom durch Stützpunkte Legen](#polynom-durch-stützpunkte-legen)
+        - [Beispiel](#beispiel-1)
+      - [Lokale Approximation](#lokale-approximation)
+        - [Taylor-Polynom](#taylor-polynom)
+        - [Taylor-Reihe](#taylor-reihe)
+    - [Konvergenz](#konvergenz)
+      - [Potenzreihen](#potenzreihen)
+
 ## Nullstellen durch Horner-Schema
 Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.
 
@@ -148,7 +197,7 @@ $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$
 Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.
 
   - $u(x) = x^2$
-  - $g(x) = \cos(u)$
+  - $g(x) = \cos(u) \cdot x$
   - $f(x) = g(u(x))$
 
 **2. Substitutions-Gleichung für $dx$**
@@ -195,10 +244,15 @@ Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert w
 $$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$
 
 #### Partielle Integration
-Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
+Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:  
+Bestimmt:
 
 $$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
 
+Unbestimmt:
+
+$$\int{u'(x) \cdot v(x)}dx = u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
+
 Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:
 
 $$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$
@@ -316,8 +370,8 @@ $$\begin{split}
 Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:
 
 $$\begin{split}
-  \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
-  & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
+  \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} - \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
+  & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} - 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
   & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
 \end{split}$$