# Stochastik und Statistik

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## Deskriptive Statistik
Ermittlung von Kenngrössen und Datenvalidierung

### Merkmals-Typen
```mermaid
flowchart TD
  r[Merkmals-Typ]
  q[Qualitativ/Kategoriell]
  m[Quantitativ/Metrisch]
  n[Nominal]
  o[Ordinal]
  d[Diskret]
  s[Stetig]
  r --> q
  r --> m
  q --> n
  q --> o
  m --> d
  m --> s
```

  - Qualitativ/Kategoriell - Unmessbar
    - Nominal: Nicht mit bestimmtem Wert verbunden
    - Ordinal: Mit Wert verbunden
  - Quantitativ/Metrisch - Messbar
    - Diskret: Nur bestimmte Werte möglich
    - Stetig: Jegliche Werte möglich

***Beispiele:***

Frage: Welche Sprache sprichst du?

| Ausprägungen                                     | Merkmal-Typ |
| ------------------------------------------------ | ----------- |
| Deutsch, Französisch, Italienisch, Rätoromanisch | Nominal     |

Frage: Ich würde das Produkt weiterempfehlen

| Ausprägungen                                                                   | Merkmal-Typ |
| ------------------------------------------------------------------------------ | ----------- |
| Stimme nicht zu, Stimme eher nicht zu, Keine Angabe, Stimme eher zu, Stimme zu | Ordinal     |

Frage: Wieviele Male hast du heute Steam gestartet?

| Ausprägungen       | Merkmal-Typ | Bemerkung                                           |
| ------------------ | ----------- | --------------------------------------------------- |
| Ganze Zahlen $> 0$ | Diskret     | Es sind keine beliebigen Werte möglich (bspw. 0.5). |

Frage: Was ist dein Welt-Rekord im 100-Meter-Lauf?

| Ausprägungen   | Merkmal-Typ | Bemerkung                                                        |
| -------------- | ----------- | ---------------------------------------------------------------- |
| Beliebige Zeit | Stetig      | Jegliche Zahlen (mit beliebig vielen Kommastellen) sind möglich. |

Frage: Wieviel kostet ein Mars-Riegel?

| Ausprägungen            | Merkmal-Typ | Bemerkung                                                           |
| ----------------------- | ----------- | ------------------------------------------------------------------- |
| Beliebiger Preis in CHF | Diskret     | Beträge, die nicht durch 5 Rappen teilbar sind, sind nicht möglich. |

## Häufigkeiten
Eine Häufigkeit ist die Anzahl Male, die ein Merkmalsträger in der Stichprobe eine bestimmte Eigenschaft erfüllt.
Diese kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden.

  - ***Absolute Häufigkeit $h_i$:*** Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gezählten Elemente.
  - ***Relative Häufigkeit $f_i$:*** Ergibt sich, indem man die absolute Häufigkeit durch den Stichproben-Umfang teilt.
    $$f_i = \frac{h_i}{n}$$

Zudem gelten folgende Regeln:

$$\sum_{i = 1}^n h_i = n$$
$$\sum_{i = 1}^n f_i = 1$$

Die Funktion für die Häufigkeitsfunktion (auch genannt: Dichtefunktion) hat folgende Abkürzungen:

  - Für diskrete Merkmale: _PMF_ (probability mass function)
  - Für stetige Merkmale: _PDF_ (probability density function)

<div class="letters">

  - $f_i$: Relative Häufigkeit
  - $h_i$: Absolute Häufigkeit
  - $n$: Anzahl Merkmalträger in der Stichprobe

</div>

# Glossar
  - Univariate Daten: Daten, welche nur ein Merkmal haben