# Zusammenfassung Analysis 2
## Nullstellen durch Horner-Schema
Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.
Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt:
$$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$
Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:
**1. Nullstelle aufschreiben**
Im Bild rot markiert
**2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben**
Zu sehen im Bild in der obersten Reihe.
Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden.
**4. Startwert notieren**
Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt.
**5. Berechnung**
In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten.
Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle.
> **Note:**
> Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen.
>
> Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten:
> $$3x^2 + 3x - 12$$
>
> Verdeutlicht:
> $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$
## Stammfunktion
Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen[^Derivation].
Alle Ableitungsregeln können unter [Ableitungen][Derivation] nachgeschlagen werden.
## Integrale
Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:
**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$**
Integrale haben folgende Erscheinungsform:
$$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$
Die Zeichen haben folgende Bedeutung:
- $\int$: Integrations-Zeichen
- $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll)
- $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll)
- $f(x)$: Zu integrierende Funktion
- $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden.
### Integration von Produkten
Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren.
Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben.
#### Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel:
$$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt:
$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$
**1. Funktionen bestimmen**
Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.
- $u(x) = x^2$
- $g(x) = \cos(u)$
- $f(x) = g(u(x))$
**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**
Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden:
$$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$
Das ergibt in diesem Beispiel folgendes:
$$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$
**3. Substitution**
Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden:
$$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$
Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss.
Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**.
$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx =
\int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$
Vereinfacht ergibt das folgendes:
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
**4. Resultat berechnen**
$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$
Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen.
Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes:
$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$
**5. Rücksubstitution**
Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden:
$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$
#### Partielle Integration
Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:
$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:
$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$
Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden:
**1. Unterfunktionen bestimmen**
Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden.
- $u'(x) = sin(x)$
- $v(x) = x$
**2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen**
- $u(x) = -\cos(x)$
- $v'(x) = 1$
**3. Resultat berechnen**
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
$$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$
$$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$
$$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$
$$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$
$$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$
> **Note:**
> Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird.
>
> Beispiel:
>
> $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$
#### Partialbruchzerlegung
Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein.
Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt:
$$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$
Folgende Schritte müssen durchgeführt werden:
**1. Nullstellen des Nenners bestimmen**
Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$)
Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:
Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$
Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$.
**2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen**
- Für einfache Nullstellen:
$$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$
- Für doppelte Nullstellen:
$$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$
- Für $r$-fache Nullstellen:
$$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$
Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes:
$$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$
**3. Brüche gleichnamig machen**
$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$
Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden:
$$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$
**4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen**
Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen:
$$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$
- $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben:
$$A + B = 0$$
- $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben:
$$C - 4A - 3B = 1$$
- $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben:
$$4A + 2B - C = 1$$
Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate:
- $A = 2$
- $B = -2$
- $C = 3$
Daraus ergibt sich folgendes:
$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$
**5. Integration der Teilbrüche**
Für Nenner ohne Exponent:
$$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$
Für Nenner mit Exponent:
$$\begin{split}
\int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\
& = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\
& = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c
\end{split}$$
Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:
$$\begin{split}
\int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
& = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
& = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
\end{split}$$
#### Leitfaden
[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]
[Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md