# Zusammenfassung Analysis 2 ## Inhalt - [Zusammenfassung Analysis 2](#zusammenfassung-analysis-2) - [Inhalt](#inhalt) - [Integrale](#integrale) - [Unbestimmte Integrale](#unbestimmte-integrale) - [Integration von Produkten](#integration-von-produkten) - [Integration durch Substitution](#integration-durch-substitution) - [Schritt 1: Verschachtelte Funktionen Bestimmen](#schritt-1-verschachtelte-funktionen-bestimmen) - [Schritt 2: Substitutions-Gleichung für $x$](#schritt-2-substitutions-gleichung-für-x) - [Schritt 3: Substitutions-Gleichung für $dx$](#schritt-3-substitutions-gleichung-für-dx) - [Schritt 4: Integral-Substitution](#schritt-4-integral-substitution) - [Taylor-Reihe](#taylor-reihe) ## Integrale Integrale dienen dazu, die Flächen unter einer Kurve zu berechnen.

Mit der Funktion $f(x) = x^3 + 5$ lässt sich dessen Integral folgendermassen darstellen: $$\int_{2}^4{f(x)dx}$$ oder $$\int_{2}^4{\left(x^3 + 5\right)dx}$$ Berechnen lässt sich das Integral mit Hilfe der Basisfunktion: $$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 5x$$ Folgend lautet die Integration: $$\int_{2}^4{f(x)dx} = F(4) - F(2)$$ oder $$\int_{2}^4{f(x)dx} = \left(\frac{1}{4}4^4 + 5 \cdot 4\right) - \left(\frac{1}{4} \cdot 2^4 + 5 \cdot 2\right) \\ \int_{2}^4{f(x)dx} = \frac{1}{4} \cdot 256 + 20 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 10 \\ \int_{2}^4{f(x)dx} = 64 + 20 - 4 - 10 = 70$$ ### Unbestimmte Integrale Integrale können in unbestimmter oder in bestimmter Form geschrieben werden. Unbestimmte Integrale haben - anders als bestimmte Integrale - keinen festgelegte Grenzwerte. Aus diesem Grund können diese nicht eindeutig berechnet werden: $$\int{x^3 + 5dx} = F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 5x + C$$ > ***Informationen zur Konstanten $C$:*** > Da in der Ableitung von $f(x) = x^3 + 5$ eine beliebige Konstante $C$ zulässt, kann die Ableitung nicht eindeutig bestimmt werden. Nur durch Setzen von Grenzen lässt sich die Konstante **eliminieren**: > $$\int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = F(1) - F(-1) \\ > \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = \left(\frac{1}{4} \cdot 1^4 + 5 \cdot 1 + C\right) - \left(\frac{1}{4} + 5 \cdot -1 + C\right) \\ > \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = \frac{1}{4} + 5 + C - \frac{1}{4} + 5 - C \\ > \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = 5 + 5 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + C - C = 10$$ ### Integration von Produkten Da Produkte sowohl durch Produktregel oder durch Kettenregel entstandene Ableitungen sein können, ist das Bestimmen der Basisfunktion von Produkten etwas komplizierter. So kann ein Produkt von folgenden 2 Ableitungen[^Derivation] stammen: $$\left(u(x) \cdot v(x) \right)' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$ oder $$(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$$ Die zwei gängigsten Methoden sind im folgenden beschrieben: #### Integration durch Substitution Diese Methode basiert auf folgende Ableitungs-Regel[^Derivation]. $$F(u(x)) = \int{F(u(x))' dx} = \int{F'(u) \cdot u'(x) dx}$$ Gelöst wird das Ganze mit der Regel $\frac{du}{dx} = g'(x)$ für $u = g(x)$. Aufgezeigt wird das anhand eines bestimmten und eines unbestimmten Integrals: - Beispiel a) $$\int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx}$$ - Beispiel b) $$\int^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}_0\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx$$ ##### Schritt 1: Verschachtelte Funktionen Bestimmen In diesem Schritt sollen die verschachtelten Funktionen für spätere Funktionen bestimmt werden: Für Beispiel a) und b) mit $f(g(x)) = \cos(x^2) \cdot x$: - $f(x) = \cos(g(x)) \cdot x$ - $g(x) = x^2$ ##### Schritt 2: Substitutions-Gleichung für $x$ $$u = g(x)$$ Für Beispiel a) und b) bedeutet das: $$u = x^2$$ > ***Note:*** > Eine verschachtelte Funktion wird üblicherweise mit $g(x)$ bezeichnet. ##### Schritt 3: Substitutions-Gleichung für $dx$ $$\frac{du}{dx} = g'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{g'(x)}$$ Im Fall von Beispiel a) und b) entspricht die Ableitung $g'(x)$ $2x$. Für Beispiel a) und b) bedeutet das folgendes: $$\frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$ ##### Schritt 4: Integral-Substitution $$\int{f(x) dx} = \int{\varphi(u) du}$$ Die genannte Formel muss nun auf das Integral und das substituierte Integral angewendet werden. Hierbei soll die Variable $x$ weggekürzt werden. Ist dies nicht möglich, so ist dieser Ansatz "Integration durch Substitution" für dieses Integral nicht möglich. ***Beispiel a)*** $$\int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx} = \int{\left(\cos(u) \cdot x\right) \frac{du}{2x}} \\ \int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx}$$ ## Taylor-Reihe [^Derivation]: [Ableitungen](../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md)