# Ableitungen Die Ableitung einer Funktion sagt aus, wie sich die Werte der Funktion an einer gegebenen Stelle verändern.

Wie zu sehen ist, zeigt $f'(x)$ an Stellen, an denen $f(x)$ eine Steigung hat, einen positiven Wert, an Stellen, an denen $f(x)$ keine Steigung hat, $0$ und an Stellen, an denen $f(x)$ sich senkt, einen negativen Wert. Ableitungen werden jeweils als den Funktions-Namen zusammen mit einem Apostroph geschrieben. So heisst also beispielsweise die Ableitung der Funktion $z(x)$ üblicherweise $z'(x)$. > **_Note:_** > Will man die Ableitung eines Terms ausdrücken, so macht man das folgendermassen: > > Die Ableitung von $420x - 1337x^2$ ist $(420x - 1337x^2)'$. ## Inhaltsverzeichnis - [Ableitungen](#ableitungen) - [Inhaltsverzeichnis](#inhaltsverzeichnis) - [Realbeispiel](#realbeispiel) - [Ableitungen erkennen](#ableitungen-erkennen) - [Zweite, Dritte, $n$. Ableitung](#zweite-dritte-n-ableitung) - [Ableitungs-Regeln](#ableitungs-regeln) - [Allgemeine Regeln](#allgemeine-regeln) - [Konstante](#konstante) - [Faktor-Regel](#faktor-regel) - [Potenz-Regel](#potenz-regel) - [Summen-Regel](#summen-regel) - [Produkt-Regel](#produkt-regel) - [Quotienten-Regel](#quotienten-regel) - [Ketten-Regel](#ketten-regel) - [Ableitungen bestimmter Funktionen](#ableitungen-bestimmter-funktionen) ## Realbeispiel Die Ableitung kann beispielsweise verwendet werden, um die Geschwindigkeit einer Bewegung abzubilden. Folgendes Weg-Zeit-Diagramm soll das verdeutlichen:

Nicht nur zeigt hier $t'$ die Ableitung der Funktion $t$ auf, sondern auch jeweils die momentane Geschwindigkeit, die eine Person zum gegebenen Zeitpunkt hat. ## Ableitungen erkennen Ableitungen kann man daran erkennen, dass sie jeweils an den Stellen, an denen die abzuleitende Funktion einen Scheitelpunkt erreicht, einen Wert von $0$ haben, da an diesen Stellen weder eine Senkung noch eine Steigung vorherrscht. Beispiel:

## Zweite, Dritte, $n$. Ableitung Erstellt man eine Ableitung einer bereits existierenden Ableitung, so nennt sich diese "Zweite Ableitung". Dessen Ableitung wiederum heisst "Dritte Ableitung" etc. > **_In Worten:_** > - $f'$ ist die Ableitung von $f$ > - $f''$ ist die Ableitung von $f'$ und somit die **Zweite Ableitung** von $f$ > - $f'''$ ist die Ableitung von $f''$ und somit die **Dritte Ableitung** von $f$ ## Ableitungs-Regeln Um von einer Funktion (oder Bruchteilen davon) die Ableitung zu errechnen, können einige allgemeingültige Regeln zugezogen werden, welche im Folgenden erklärt werden. Hilfreiche Links für's Nachschlagen der Regeln: - https://www.mathebibel.de/ableitungsregeln - https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw ### Allgemeine Regeln #### Konstante Besteht in der Funktion nur eine Konstante ohne ein $x$, so ist dessen Ableitung immer $0$: | Funktion | Ableitung | | ----------------- | ----------- | | $f(x) = 1337$ | $f'(x) = 0$ | | $f(x) = \sqrt{2}$ | $f'(x) = 0$ | #### Faktor-Regel Die Faktor-Regel besagt, dass konstante Zahlen, mit denen $x$ multipliziert werden, auch in dessen Ableitung bestehen bleiben. > $$f(x) = c \cdot x \rightarrow f'(x) = c \cdot (x)'$$ Das bedeutet folgendes: Wenn $f(x)$ folgender Funktion entspricht: $f(x) = 2 \cdot g(x)$ und $g(x) = x$ So ist die Ableitung davon folgende: $$f(x) = 2 \cdot g'(x)$$ | Funktion | Ableitung | | ----------- | --------- | | $f(x) = 7x$ | $7$ | #### Potenz-Regel Die Potenzregel lautet folgendermassen: > $$f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n - 1}$$ Auch hier wieder anhand einiger Beispiele: | Funktion | Ableitung | | ------------- | ----------------------- | | $f(x) = x$ | $1$ | | $f(x) = x^7$ | $7 \cdot x^6$ | | $f(x) = x^6$ | $6 \cdot x^5$ | | $f(x) = 3x^6$ | $3 \cdot (6 \cdot x^5)$ | #### Summen-Regel Die Ableitung einer Addition ergibt die Summe der Ableitung der einzelnen Summanden der Addition: > $$f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)$$ Diese Regel ist auch auf Subtraktionen anwendbar: > $$f(x) = g(x) - h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) - h'(x)$$ Diese Regel kann für jegliche Funktion, welche eine Addition beinhaltet, angewendet werden: $$f(x) = \overbrace{2x}^{g(x) = 2x} + \overbrace{4x^3}^{h(x) = 4x^3}$$ $$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$ $$f'(x) = \underbrace{2 \cdot 1 \cdot x^0}_{g'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x^0} + \underbrace{4 \cdot 3 \cdot x^2}_{h'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^2}$$ #### Produkt-Regel Die Produkt-Regel beschreibt, wie eine Ableitung einer Funktion gemacht werden kann, welche eine Multiplikation beinhaltet. > $$f(x) = g(x) \cdot h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$ Auch hier wiederum ein Beispiel: $$f(x) = \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x) = 3x^3 + x^2}\overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x) = 4x^2 + 1}$$ $$f'(x) = g'(x) \cdot h'(x)$$ $$f'(x) = \underbrace{(3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1)}_{g'(x) = 3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1} \cdot \overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x)} + \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x)} \cdot \underbrace{(4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0)}_{h'(x) = 4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0}$$ #### Quotienten-Regel Von der Produkt-Regel lässt sich auch die Quotienten-Regel ableiten. Diese beschreibt, wie man die Ableitung von Divisionen bilden kann und lautet folgendermassen: > $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$ Wie diese Regel angewendet wird, lässt sich anhand des folgenden Beispiels aufzeigen: $$f(x) = \left(\frac{\overbrace{3x^2 - x}^{g(x)}}{\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)}}\right)$$ $$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$ $$f'(x) = \frac{\overbrace{(3 \cdot 2 \cdot x^1 - 1 \cdot x^0)}^{g'(x)} \cdot \overbrace{(2x^3 + 1)}^{h(x)} - \overbrace{(3x^2 - x)}^{g(x)} \cdot \overbrace{(2 \cdot 3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}}{(\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)})^2}$$ #### Ketten-Regel Die Ketten-Regel zeigt auf, wie die Ableitung von verschachtelten Funktionen geformt werden kann. Folgende Regel gilt: > $$f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$ Aufgezeigt anhand eines Beispiels: $$f(x) = \overbrace{(\underbrace{x^3 + 4}_{h(x) = x^3 + 4})^{-2}}^{g(x) = x^{-2}}$$ $$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$ $$f'(x) = \overbrace{-2 \cdot (\underbrace{x^3 + 4}_{h(x)})^{-3}}^{g'(h(x))} \cdot \overbrace{(3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}$$ ### Ableitungen bestimmter Funktionen Folgende Auflistung zeigt einige bekannte Funktionen und deren Ableitung auf. $a$ steht hierbei für eine Konstante. | Ausdruck | Ableitung | | -------------- | -------------------------- | | $(\sin(x))'$ | $\cos(x)$ | | $(\cos(x))'$ | $-\sin(x)$ | | $(e^x)'$ | $e^x$ | | $(a^x)'$ | $a^x \cdot \ln(a)$ | | $(\ln(x))'$ | $\frac{1}{x}$ | | $(\log_a(x))'$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ |