# Zusammenfassung Analysis 2 ## Nullstellen durch Horner-Schema Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen. Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt: $$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$ Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:  **1. Nullstelle aufschreiben** Im Bild rot markiert **2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben** Zu sehen im Bild in der obersten Reihe. Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden. **4. Startwert notieren** Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt. **5. Berechnung** In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten. Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle. > **Note:** > Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen. > > Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten: > $$3x^2 + 3x - 12$$ > > Verdeutlicht: > $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$ ## Stammfunktion Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen[^Derivation]. Alle Ableitungsregeln können unter [Ableitungen][Derivation] nachgeschlagen werden. ## Integrale Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:

**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$** Integrale haben folgende Erscheinungsform: $$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$ Die Zeichen haben folgende Bedeutung: - $\int$: Integrations-Zeichen - $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll) - $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll) - $f(x)$: Zu integrierende Funktion - $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden. ### Integration von Produkten Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren. Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben. #### Integration durch Substitution Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel: $$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$ Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt: $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$ **1. Funktionen bestimmen** Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt. - $u(x) = x^2$ - $g(x) = \cos(u)$ - $f(x) = g(u(x))$ **2. Substitutions-Gleichung für $dx$** Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden: $$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$ Das ergibt in diesem Beispiel folgendes: $$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$ **3. Substitution** Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden: $$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$ Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss. Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**. $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx = \int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$ Vereinfacht ergibt das folgendes: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ **4. Resultat berechnen** $$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$ Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen. Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes: $$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$ **5. Rücksubstitution** Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden: $$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$ #### Partielle Integration Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel: $$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$ Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt: $$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$ Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden: **1. Unterfunktionen bestimmen** Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden. - $u'(x) = sin(x)$ - $v(x) = x$ **2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen** - $u(x) = -\cos(x)$ - $v'(x) = 1$ **3. Resultat berechnen** Daraus ergibt sich folgende Gleichung: $$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$ $$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$ $$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$ $$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$ $$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$ $$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$ > **Note:** > Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird. > > Beispiel: > > $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$ #### Partialbruchzerlegung Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein. Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt: $$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$ Folgende Schritte müssen durchgeführt werden: **1. Nullstellen des Nenners bestimmen** Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$) Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:  Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$ Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$. **2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen** - Für einfache Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$ - Für doppelte Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$ - Für $r$-fache Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$ Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes: $$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$ **3. Brüche gleichnamig machen** $$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$ Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden: $$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$ **4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen** Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen: $$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$ - $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben: $$A + B = 0$$ - $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben: $$C - 4A - 3B = 1$$ - $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben: $$4A + 2B - C = 1$$ Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate: - $A = 2$ - $B = -2$ - $C = 3$ Daraus ergibt sich folgendes: $$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$ **5. Integration der Teilbrüche** Für Nenner ohne Exponent: $$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$ Für Nenner mit Exponent: $$\begin{split} \int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\ & = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\ & = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c \end{split}$$ Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes: $$\begin{split} \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\ & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\ & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c \end{split}$$ #### Leitfaden  ## Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale sind Integrale, welche einen unendlich grossen Integrationsbereich hat oder eine Polstelle (Grenze an unendlichem Wert) enthält. ### Uneigentlicher Integrationsbereich Dies ist der Fall, wenn die Untergrenze eines Integrals $-\infin$ oder dessen Obergrenze $+\infin$ ist.

_Beispiel anhand des Integrals $\int_1^{\infin} 6 \cdot \frac{1}{x^2}$_ Uneigentliche Integrale können berechnet werden, indem man erst die Stammfunktion ausformuliert, um dann den Grenzwert zu berechnen. **1. Bestimmung der Stammfunktion** $$\int_1^{\infin}{6 \cdot \frac{1}{x^2}} = \left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin}$$ **2. Grenzwert mit Hilfe von $\lim$ berechnen** $$\left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin} = 6 \cdot -\frac{1}{\infin} - 6 \cdot -\frac{1}{1} = 6 \cdot 0 - -6 \cdot -1 = 6$$ [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation] [Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md