# Zusammenfassung Analysis 2 ## Inhalt - [Zusammenfassung Analysis 2](#zusammenfassung-analysis-2) - [Inhalt](#inhalt) - [Nullstellen durch Horner-Schema](#nullstellen-durch-horner-schema) - [Stammfunktion](#stammfunktion) - [Integrale](#integrale) - [Grundintegrale](#grundintegrale) - [Integration von Produkten](#integration-von-produkten) - [Integration durch Substitution](#integration-durch-substitution) - [Partielle Integration](#partielle-integration) - [Partialbruchzerlegung](#partialbruchzerlegung) - [Leitfaden](#leitfaden) - [Uneigentliche Integrale](#uneigentliche-integrale) - [Uneigentlicher Integrationsbereich](#uneigentlicher-integrationsbereich) - [Regel Bernoulli de l'Hopital](#regel-bernoulli-de-lhopital) - [Differentialgleichungen](#differentialgleichungen) - [Gewöhnliche Differentialgleichungen](#gewöhnliche-differentialgleichungen) - [Differentialgleichungen 1. Ordnung](#differentialgleichungen-1-ordnung) - [Euler-Schritte](#euler-schritte) - [Separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen) - [Definition](#definition) - [Lösungsweg](#lösungsweg) - [Beispiel](#beispiel) - [Autonome Differentialgleichung](#autonome-differentialgleichung) - [Beispiele](#beispiele) - [Lösungsweg](#lösungsweg-1) - [Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung](#lineare-differentialgleichung-1-ordnung) - [Lösungswege](#lösungswege) - [Lösung durch Variabel-Separierung](#lösung-durch-variabel-separierung) - [Lösung durch Variation der Konstanten](#lösung-durch-variation-der-konstanten) - [Anwendung der Integralrechnung](#anwendung-der-integralrechnung) - [Der Mittelwert](#der-mittelwert) - [Die Arbeit](#die-arbeit) - [Rotationskörper](#rotationskörper) - [Rotationskörper um die $x$-Achse](#rotationskörper-um-die-x-achse) - [Rotationskörper um die $y$-Achse](#rotationskörper-um-die-y-achse) - [Mantelfläche eines Rotationskörpers](#mantelfläche-eines-rotationskörpers) - [Bogenlänge einer Kurve](#bogenlänge-einer-kurve) - [Schwerpunkt](#schwerpunkt) - [Schwerpunkt eines Rotationskörpers](#schwerpunkt-eines-rotationskörpers) - [Taylor-Reihen](#taylor-reihen) - [Herleitung](#herleitung) - [Polynom durch Stützpunkte Legen](#polynom-durch-stützpunkte-legen) - [Beispiel](#beispiel-1) - [Lokale Approximation](#lokale-approximation) - [Taylor-Polynom](#taylor-polynom) - [Taylor-Reihe](#taylor-reihe) - [Konvergenz](#konvergenz) - [Potenzreihen](#potenzreihen) ## Nullstellen durch Horner-Schema Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen. Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt: $$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$ Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:  **1. Nullstelle aufschreiben** Im Bild rot markiert **2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben** Zu sehen im Bild in der obersten Reihe. Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden. **4. Startwert notieren** Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt. **5. Berechnung** In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten. Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle. > **Note:** > Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen. > > Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten: > $$3x^2 + 3x - 12$$ > > Verdeutlicht: > $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$ ## Stammfunktion Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen. Alle Ableitungsregeln können unter Ableitungen nachgeschlagen werden. ## Integrale Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:

**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$** Integrale haben folgende Erscheinungsform: $$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$ Die Zeichen haben folgende Bedeutung: - $\int$: Integrations-Zeichen - $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll) - $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll) - $f(x)$: Zu integrierende Funktion - $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden. ### Grundintegrale $$\begin{aligned} \int{a}dx &= ax \\ \int{x^n}dx &= \frac{x^{n+1}}{n + 1}, &n &\not = -1 \\ \int{\frac{1}{x}}dx &= \ln(|x|), &x &\not = 0 \\ \int{a^x}dx &= \frac{a^x}{\ln(a)}, &a &> 0, &a &\not = 1 \end{aligned}$$ ### Integration von Produkten Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren. Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben. #### Integration durch Substitution Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel: $$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$ Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt: $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$ **1. Funktionen bestimmen** Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt. - $u(x) = x^2$ - $g(x) = \cos(u) \cdot x$ - $f(x) = g(u(x))$ **2. Substitutions-Gleichung für $dx$** Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden: $$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$ Das ergibt in diesem Beispiel folgendes: $$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$ **3. Substitution** Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden: $$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$ Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss. Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**. $$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx = \int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$ Vereinfacht ergibt das folgendes: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ **4. Resultat berechnen** $$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$ Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen. Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes: $$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$ **5. Rücksubstitution** Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden: $$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$ #### Partielle Integration Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel: Bestimmt: $$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$ Unbestimmt: $$\int{u'(x) \cdot v(x)}dx = u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)}dx$$ Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt: $$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$ Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden: **1. Unterfunktionen bestimmen** Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden. - $u'(x) = sin(x)$ - $v(x) = x$ **2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen** - $u(x) = -\cos(x)$ - $v'(x) = 1$ **3. Resultat berechnen** Daraus ergibt sich folgende Gleichung: $$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$ $$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$ $$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$ $$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$ $$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$ $$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$ > **Note:** > Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird. > > Beispiel: > > $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$ #### Partialbruchzerlegung Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein. Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt: $$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$ Folgende Schritte müssen durchgeführt werden: **1. Nullstellen des Nenners bestimmen** Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$) Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:  Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$ Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$. **2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen** - Für einfache Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$ - Für doppelte Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$ - Für $r$-fache Nullstellen: $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$ Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes: $$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$ **3. Brüche gleichnamig machen** $$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$ Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden: $$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$ **4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen** Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen: $$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$ - $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben: $$A + B = 0$$ - $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben: $$C - 4A - 3B = 1$$ - $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben: $$4A + 2B - C = 1$$ Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate: - $A = 2$ - $B = -2$ - $C = 3$ Daraus ergibt sich folgendes: $$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$ **5. Integration der Teilbrüche** Für Nenner ohne Exponent: $$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$ Für Nenner mit Exponent: $$\begin{split} \int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\ & = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\ & = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c \end{split}$$ Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes: $$\begin{split} \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} - \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\ & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} - 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\ & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c \end{split}$$ #### Leitfaden  ## Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale sind Integrale, welche einen unendlich grossen Integrationsbereich hat oder eine Polstelle (Grenze an unendlichem Wert) enthält. ### Uneigentlicher Integrationsbereich Dies ist der Fall, wenn die Untergrenze eines Integrals $-\infin$ oder dessen Obergrenze $+\infin$ ist.

_Beispiel anhand des Integrals $\int_1^{\infin} 6 \cdot \frac{1}{x^2}$_ Uneigentliche Integrale können berechnet werden, indem man erst die Stammfunktion ausformuliert, um dann den Grenzwert zu berechnen. **1. Bestimmung der Stammfunktion** $$\int_1^{\infin}{6 \cdot \frac{1}{x^2}} = \left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin}$$ **2. Grenzwert mit Hilfe von $\lim$ berechnen** $$\left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin} = 6 \cdot -\frac{1}{\infin} - 6 \cdot -\frac{1}{1} = 6 \cdot 0 - -6 \cdot -1 = 6$$ ### Regel Bernoulli de l'Hopital Wenn für eine Funktion $f(x)$ und $g(x)$ folgendes gilt: - $f(x)$ und $g(x)$ sind in der Umgebung von $x_0$ berechenbar. - $\frac{f(x)}{g(x)}$ ergibt, wenn $x \rightarrow x_0$ $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infin}{\infin}$ Dann gilt: $$\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$ ## Differentialgleichungen ### Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Funktionen, welche als Rückgabewert an Stelle eines Skalar-Werts eine Funktion liefert. Eine Differentialfunktion wird dargestellt durch die Ableitung, die resultierende Funktionen haben sollen: So sind für die Differenzialgleichung $y' = x - y + 1$ alle resultierende Funktionen gültig, welche die Ableitung $x - y + 1$ haben. Die Ordnung einer Differentialgleichung sagt aus, was der höchste Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung. ### Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen 1. Ordnung lassen sich als Richtungsfelder darstellen:

Obig zu sehen ist das Richtungsfeld für die Differentialgleichung $y' = x - y + 1$. Die Striche zeigen jeweils die Steigung, die das Resultate der Differentialgleichung mit dem entsprechenden $x$- und $y$-Wert hat. Hierbei steht $0$ für keine Steigung (waagerecht), -1 für eine 45°-Senkung nach unten und 1 für eine 45°-Steigung nach oben. Alternativ lässt sich die Differentialgleichung auch in tabellarischer Form für $y'$ darstellen: | $f'(x_0, y_0)$ | $x_0 = -3$ | $x_0 = -2$ | $x_0 = -1$ | $x_0 = 0$ | $x_0 = 1$ | $x_0 = 2$ | $x_0 = 3$ | | :------------: | :--------: | :--------: | :--------: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: | | $y_0 = 2$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | $y_0 = 1$ | $-3$ | $-2 | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | $y_0 = 0$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | $y_0 = -1$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | $y_0 = -2$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | #### Euler-Schritte Ein Weg, um eine Lösung für eine Differentialgleichung zu approximieren ist die Methode der Euler-Schritte.  Beispiel mit folgenden Parametern: $y' = x + y, x_0 = 0, y_0 = 1, h = 1$ | Steigung Gerade | Berechnung | Beispiel | | -------------------------------------------- | --------------------------------- | ---------------------------- | | $g_0\text{: } m_0 = F(x_0, y_0) = x_0 + y_0$ | $x_1 = x_0 + h$ | $= 0 + 1 = 1$ | | Im Beispiel: $1$ | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_0, y_0)$ | $= 1 + 1 \cdot (0 + 1) = 2$ | | $g_1\text{: } m_1 = F(x_1, y_1) = x_1 + y_1$ | $x_1 = x_0 + h$ | $= 1 + 1 = 2$ | | Im Beispiel: $3$ | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_1, y_1)$ | $= 2 + 1 \cdot (1 + 2) = 5$ | | $g_2\text{: } m_2 = F(x_2, y_2) = x_2 + y_2$ | $x_3 = x_2 + h$ | $= 2 + 1 = 3$ | | Im Beispiel: $7$ | $y_3 = y_2 + h \cdot F(x_2, y_2)$ | $= 5 + 1 \cdot (2 + 5) = 12$ | | etc. | etc. | etc. | Den Abstand zwischen den einzelnen Euler-Schritte $h$ kann hierbei frei gewählt werden. Je kleiner $h$ gewählt wird, desto genauer wird das Resultat. ### Separierbare Differentialgleichungen #### Definition Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _separierbar-, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt: $$y' = f(x) \cdot g(y)$$ > #### Beispiele > - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar > - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar #### Lösungsweg 1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben: $y' = \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$ 2. Trennung der Variablen: $\frac{dy}{g(y)} = f(x) \cdot dx$ 3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung: $\int{\frac{dy}{g(y)} = \int{f(x) \cdot dx}}$ 4. Auflösen nach $y$ #### Beispiel $$y' = k \cdot y$$ **1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:** $$y' = \frac{dy}{dx} = \underbrace{k}_{f(x)} \cdot \underbrace{y}_{g(y)}$$ **2. Trennung der Variablen:** Alle $x$ und $y$ auf separate Seite des $=$ bringen: $$\frac{dy}{y} = k \cdot dx$$ **3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:** $$\int{\frac{dy}{y}} = \int{\frac{1}{y}}dy = \ln(|y|) \\ \int{k \cdot dx} = k \cdot x + C \\ \ln(|y|) = k \cdot x + C$$ **4. Auflösen nach $y$:** $$\ln(|y|) = k \cdot x + C \\ |y| = e^{k \cdot x + C} \\ y = \pm e^{k \cdot x + C} = \underbrace{\pm e^C}_{a} \cdot e^{k \cdot x} = a \cdot e^{k \cdot x}$$ **Kontrolle:** $$y' = (a \cdot e^{k \cdot x})' = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x} \\ k \cdot y = k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \\ y' = k \cdot y$$ ### Autonome Differentialgleichung Als autonom werden die Differentialgleichungen bezeichnet, die sich in folgende Form bringen lassen: $$y' = f(y)$$ #### Beispiele | Gleichung | Autonom? | | -------------------------------------------- | -------- | | $y' = y^2 + 6$ | Ja | | $y' = x + y$ | Nein | | $y' = \frac{y}{x}$ | Nein | | $y' = y^2 \cdot \sqrt{1 - \sin(y)} - \ln(y)$ | Ja | #### Lösungsweg Gleich wie [separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen). ### Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _lineare_, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt: $$y' = f(x) \cdot y + g(x)$$ $g(x)$ wird hierbei als _Störglied_ oder _Störfunktion_ bezeichnet. Solche Differentialgleichungen nennen sich _"linear"_, weil sowohl $y$ als auch $y'$ keinen Exponenten haben. Es spielt es keine Rolle, ob $x$ in $f(x)$ oder $g(x)$ eine Potenz hat. Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist dann _homogen_, wenn $g(x)$ $0$ entspricht. In allen anderen Fällen ist die Differentialgleichung _inhomogen_. #### Lösungswege ##### Lösung durch Variabel-Separierung Beispiel anhand folgender Formel: $$y' = \frac{2y}{x} + x^3$$ **1. Komponenten der linearen Differentialgleichung bestimmen:** $$\begin{align*} f(x) &= \frac{2}{x} \\ g(x) &= x^3 \end{align*}$$ **2. Homogenen Anteil berechnen:** In diesem Schritt wird die Differentialgleichung ***ohne $g(x)$*** berechnet. Dies funktioniert mit Hilfe der Variabel-Trennung nach folgender Formel: $$y_h = C \cdot e^{\int{f(x)}dx}$$ Für das Beispiel ergibt das folgendes: $$y_h = C \cdot e^{\int{\frac{2}{x}}} = C \cdot e^{2 \cdot \ln(|x|)} = C \cdot e^{\ln(|x|^2)} = C \cdot e^{\ln(x^2)} = C \cdot x^2$$ **3. Partikulären Anteil berechnen:** Mit Hilfe der folgenden Formel kann der Partikuläre Anteil berechnet werden: $$y_P = y_h \cdot \int{\frac{g(x)}{y_h}}dx$$ Für das Beispiel ergibt das wiederum: $$y_P = C \cdot x^2 \cdot \int{\frac{x^3}{C \cdot x^2}}dx = x^2 \cdot \int{x} = x^2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{2}$$ **4. Homogenen und Partikulären Anteil addieren:** $$y = y_h + y_P = C \cdot x^2 + \frac{x^4}{2}$$ ##### Lösung durch Variation der Konstanten Eine weitere Möglichkeit ist das Verfahren "Variation der Konstanten". Folgend ein Beispiel anhand folgender Differentialgleichung: $$y' = \cos(x) - \frac{y}{x}\text{ für x > 0}$$ **1. Komponenten bestimmen:** $$\begin{align*} f(x) &= -\frac{1}{x} \\ g(x) &= \cos(x) \\ F(x) &= -\ln(x)\text{ für x > 0} \end{align*}$$ **2. Homogene Gleichung berechnen:** Mit Hilfe folgender Formel lässt sich der homogene Anteil berechnen: $$y_0 = C \cdot e^{F(x)}$$ Im aktuellen Beispiel ergibt das folgendes: $$y_0 = C \cdot e^{F(x)} = C \cdot e^{-\ln(x)} = \frac{C}{x}$$ **3. Konstante $C$ ersetzen** Im nächsten Schritt wird die Konstante $C$ im zuvor berechneten homogenen Anteil durch folgende Formel ersetzt: $$K(x) = \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx$$ Für das Beispiel ergibt das folgendes: $$\begin{align*} \frac{K(x)}{x} \\ &= \frac{1}{x} \cdot \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx \\ &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot e^{\ln(x)}}dx \\ &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot x}dx \\ &= \frac{1}{x} \cdot (\sin(x) \cdot x + \cos(x)) \\ &= \frac{\sin(x) \cdot x + \cos(x)}{x} \end{align*}$$ ## Anwendung der Integralrechnung ### Der Mittelwert Der Mittelwert einer Funktion errechnet sich mit der folgenden Formel: $$\mu = \frac{1}{b - a} \cdot \int_a^b{f(x)}dx$$ ### Die Arbeit $$\int_{s_1}^{s_2}{F(s)}ds$$ ### Rotationskörper #### Rotationskörper um die $x$-Achse $$V = \pi \cdot \int_a^b{(f(x))^2}dx$$ #### Rotationskörper um die $y$-Achse $$V = \pi \cdot \int_c^d{(g(y))^2}dy$$ #### Mantelfläche eines Rotationskörpers $$M = 2 \cdot \pi \cdot \int_a^b{y \cdot \sqrt{1 + (y')^2}}dx$$ ### Bogenlänge einer Kurve $$s = \int_a^b{\sqrt{1 + (y')^2}}dx$$ ### Schwerpunkt $$x_S = \frac{1}{A} \cdot \int_a^b{x \cdot (f_o(x) - f_u(x))}dx$$ $$y_S = \frac{1}{2A} \cdot \int_a^b{(f_o^2(x) - f_u^2(x))}dx$$ ### Schwerpunkt eines Rotationskörpers $$x_S = \frac{\pi}{V} \cdot \int_a^b{x \cdot f^2(x)}dx$$ $$y_S = 0$$ $$z_S = 0$$ ## Taylor-Reihen ### Herleitung #### Polynom durch Stützpunkte Legen Um ein Polynom auf $n$ Stützpunkte zu legen, muss das Polynom vom Grad $n - 1$ sein. Mit Hilfe eines Gleichungssystems lässt sich bestimmen, durch welche bestimmte Stützpunkte durchquert. ##### Beispiel Der Vorgang wird anhand der Gleichung $f(x) = e^{2x}$ aufgezeigt. **1. Stützpunkte Identifizieren:** Der Graph $f(x) = e^{2x}$ läuft unter anderem durch die folgenden Stellen: - $(0, 1)$ - $(1, e^2)$ - $(2, e^4)$ **2. Gleichungssystem aufstellen:** Für 3 Stützpunkte benötigt das Polynom, wie erwähnt, einen Grad von $3$. Ein Polynom 3. Grades hat den folgenden Aufbau: $$p(x) = a + bx + cx^2$$ Daraus lässt sich anhand der Stützpunkte folgendes Gleichungssystem aufstellen: $$\begin{align*} 1 &= a + 0b + 0c \\ e^2 &= a + b + c \\ e^4 &= a + 2b + 4c \\ \end{align*}$$ Das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt folgendes: $$\begin{align*} a &= 1 \\ b &= e^2 - 1 - c = -14.02 \\ c &= \frac{e^4 + 1}{2} - e^2 = 20.41 \end{align*}$$ Die ergebende Polynomfunktion ist: $$p(x) = 1 - 14.02x + 20.41x^2$$ #### Lokale Approximation Ziel der lokalen Approximation ist es, eine Annäherung an eine Funktion zu finden, die an einem bestimmten Punkt $x_0$ besonders genau am Funktionswert $f(x_0)$ liegt. Dies ist möglich mit der folgenden Formel: ##### Taylor-Polynom Für eine Approximation mit einem _Taylor-Polynom_ vom Grad $n$ der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ kann folgende Formel verwendet werden: $$p(x) = \sum_{k = 0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$ ##### Taylor-Reihe Unter _Taylor-Reihe_ versteht man ein unendliches Taylor-Polynom: $$t_f(x) = \sum_{k = 0}^\infin{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$ ### Konvergenz Die Konvergenz beschreibt den Fakt, dass Annäherungen zum Teil mit der anzunähernden Funktion übereinstimmen. Hierbei steht der Konvergenz-Bereich für die Stellen, an denen die Funktion und die Annäherung übereinstimmen. #### Potenzreihen Grundsätzliche Formel einer Potenzreihe. $$P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^k}$$ > **Quotienten-Kriterium:** > Für _jede_ Potenzreihe $P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^x}$ gibt es einen Abstand $r$, so dass > * alle $x \in (x_0 - r, x_0 + r)$ zum Konvergenz-Bereich gehören > * alle $x \in (-\infin, x_0 - r) \cup (x_0 + r, \infin)$ nicht zum Konvergenz-Bereich gehören https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation] [Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md