# Höhere Mathematik ## Inhalt - [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik) - [Inhalt](#inhalt) - [Einführung](#einführung) - [Einsatzgebiet](#einsatzgebiet) - [Arten von Lösungen](#arten-von-lösungen) - [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik) - [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen) - [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik) - [Lernziele](#lernziele) - [Maschinenzahl](#maschinenzahl) - [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen) - [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee) - [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit) - [Konditionszahl](#konditionszahl) - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben) - [Glossar](#glossar) ## Einführung ### Einsatzgebiet - Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit - Berechnung von Algorithmen durch Computer - Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung - Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance ### Arten von Lösungen - Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit - Näherungsverfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte ### Verbindung zur Informatik - Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen - Speicherung und Darstellung von Zahlen - Computergrafik & Bildverarbeitung - Neuronale Netze ### Typische Fragestellungen - Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus? - Numerische Lösung von Nullstellenproblemen - Numerische Integration ## Rechnerarithmetik ### Lernziele - [ ] Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen - [ ] Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen - [ ] Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen ### Maschinenzahl Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt: $x = m \cdot B^e$ - $x$: Die zu repräsentierende Zahl - $m$: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert) - $B$: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl - $e$: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse $m$) Beispiel: $1337 = 0.1337 * 10^4$ Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn - für die Mantisse $m$ $0.1 <= |m| < 1.0$ zutrifft Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt. ### Grenzen von Maschinenzahlen