ZHAWNotes/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

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                "example",
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        ])
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# Zusammenfassung Analysis 2
## Nullstellen durch Horner-Schema
Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.

Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt:

$$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$

Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:

![](Horner%20Method.png)

**1. Nullstelle aufschreiben**

Im Bild rot markiert

**2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben**

Zu sehen im Bild in der obersten Reihe.  
Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden.

**4. Startwert notieren**
Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt.

**5. Berechnung**

In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten.

Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle.

> **Note:**  
> Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen.
>
> Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten:
> $$3x^2 + 3x - 12$$
>
> Verdeutlicht:
> $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$

## Stammfunktion
Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen[^Derivation].

Alle Ableitungsregeln können unter [Ableitungen][Derivation] nachgeschlagen werden.

## Integrale
Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:

<p id="example"></p>

**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$**

Integrale haben folgende Erscheinungsform:

$$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$

Die Zeichen haben folgende Bedeutung:
  - $\int$: Integrations-Zeichen
  - $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll)
  - $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll)
  - $f(x)$: Zu integrierende Funktion
  - $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden.

### Integration von Produkten
Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren.

Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben.

#### Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel:

$$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$

Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt:

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$

**1. Funktionen bestimmen**

Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.

  - $u(x) = x^2$
  - $g(x) = \cos(u)$
  - $f(x) = g(u(x))$

**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**

Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden:

$$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$

Das ergibt in diesem Beispiel folgendes:

$$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$

**3. Substitution**

Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden:

$$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$

Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss.

Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**.

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx =
\int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$

Vereinfacht ergibt das folgendes:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$

**4. Resultat berechnen**

$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$

Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen.

Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes:

$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$

**5. Rücksubstitution**

Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden:

$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$

#### Partielle Integration
Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:

$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$

Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:

$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$

Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden:

**1. Unterfunktionen bestimmen**

Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden.

  - $u'(x) = sin(x)$
  - $v(x) = x$

**2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen**

  - $u(x) = -\cos(x)$
  - $v'(x) = 1$

**3. Resultat berechnen**

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

$$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
$$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$
$$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$
$$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$
$$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$
$$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$

> **Note:**  
> Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird.
>
> Beispiel:
>
> $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$

#### Partialbruchzerlegung
Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein.

Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt:

$$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$

Folgende Schritte müssen durchgeführt werden:

**1. Nullstellen des Nenners bestimmen**

Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$)

Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:

![](PartInteg.png)

Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$

Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$.

**2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen**

  - Für einfache Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$
  - Für doppelte Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$
  - Für $r$-fache Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$

Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes:

$$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$

**3. Brüche gleichnamig machen**

$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$

Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden:

$$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$

**4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen**

Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen:

$$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$

  - $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben:
    $$A + B = 0$$
  - $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben:
    $$C - 4A - 3B = 1$$
  - $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben:
    $$4A + 2B - C = 1$$

Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate:

  - $A = 2$
  - $B = -2$
  - $C = 3$

Daraus ergibt sich folgendes:

$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$

**5. Integration der Teilbrüche**

Für Nenner ohne Exponent:

$$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$

Für Nenner mit Exponent:
$$\begin{split}
  \int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\
  & = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\
  & = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c
\end{split}$$

Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:

$$\begin{split}
  \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} + \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
  & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} + 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
  & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
\end{split}$$

#### Leitfaden
![](ProductInt.png)

[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]

[Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md