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@ -26,12 +26,21 @@
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- [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik)
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- [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen)
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- [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik)
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- [Lernziele](#lernziele)
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- [Maschinenzahl](#maschinenzahl)
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- [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen)
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- [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee)
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- [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit)
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- [Konditionszahl](#konditionszahl)
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- [Nullstellenprobleme](#nullstellenprobleme)
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- [Lernziele](#lernziele)
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- [Problemstellung und Ansatz](#problemstellung-und-ansatz)
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- [Fixpunktiteration](#fixpunktiteration)
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- [Banachscher Fixpunktsatz](#banachscher-fixpunktsatz)
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- [Newton-Verfahren](#newton-verfahren)
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- [Sekantenverfahren](#sekantenverfahren)
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- [Konvergenz-Ordnung](#konvergenz-ordnung)
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- [Fehlerabschätzung](#fehlerabschätzung)
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- [Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem](#formelbuchstaben-zu-nullstellenproblem)
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- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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- [Glossar](#glossar)
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@ -58,11 +67,6 @@
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- Numerische Integration
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## Rechnerarithmetik
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### Lernziele
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- [ ] Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen
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- [ ] Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen
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- [ ] Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen
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### Maschinenzahl
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Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt:
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@ -164,15 +168,270 @@ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
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</div>
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## Nullstellenprobleme
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### Lernziele
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- [ ] Sie kennen die Begriffe "Fixpunktgleichung", "Fixpunktiteration" sowie anziehender/abstossender Fixpunkt
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- [ ] Sie können eine Fixpunktgleichung zu einer Aufgabenstellung aufstellen
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- [ ] Mögliche Fehler mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatz quantifizieren
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- [ ] Newtonverfahren sowie das Sekantenverfahren anwenden
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- [ ] Den Begriff Konvergenzordnung verstehen
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### Problemstellung und Ansatz
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Es wird der korrekte Wert $x$ für eine Aufgabe gesucht.
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1. Aufgabe ausformulieren:
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$x = \sqrt{A}$
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2. Aufgabe zu Nullstellenproblem umformulieren (Funktion, die bei gesuchtem $x$ immer $0$ ergibt):
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$f(x) = x^2 - A$
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3. (Algorithmisch) richtiges $x$ finden, bei dem die Funktion $0$ ergibt
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4. Das gefundene $x$ ist die Lösung
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> ***Note:***
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> Als Ausgangsbedingung für eine numerische Lösung eines Nullstellenproblems können diverse Bedingungen verwendet werden wie etwa:
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> - Eine bestimmte Anzahl Iterationen
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> - Abstand zwischen $x_n$ und $x_{n + 1}$ unterschreitet Threshold (approximiertes Resultat)
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> - Ein niedriger Threshold ergibt ein genaueres Resultat
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> - Ein Threshold von $0$ ergibt das genaue Resultat
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### Fixpunktiteration
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Ein möglicher Ansatz für ein solches Problem ist eine Fixpunktiteration.
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Der Vorgang für eine solche ist folgende:
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1. Die Funktion in die Form $F(x) = x$.
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Beispiel für $f(x) = x^2 - A$:
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$F(x) = \sqrt{A}$
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2. Beliebigen Wert für $x_0$ wählen (vorzugsweise Wert in Nähe von erwarteter Lösung)
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3. Fixpunktiteration $x_{n + 1}$ berechnen:
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$x_{n+1} = F(x_n)$
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Dies wird durchgeführt bis die Ausgangsbedingung erfüllt ist.
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***Code-Beispiel:***
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```py
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import math
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threshold = 10 ** -6
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def f(x): # Funktion f in Nullstellenform
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return math.cos(x) - x
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def F(x): # Funktion f in Fixpunktform
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return math.cos(x)
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def F_(x): # Die Ableitung F'(x)
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return return -math.sin(x)
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x = 0.75 # Startwert - angenommene, etwaige Lösung
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if F_(x) >= 1:
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print("Fehler: Fixpunktiteration divergiert!")
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else:
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while math.abs(x - F(x)) >= threshold:
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x = F(x)
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print(f"Approximierte Lösung: {x}")
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```
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<div class="formula">
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**Konvergenz**
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Eine Fixpunktiteration is konvergent (also berechenbar), wenn folgendes zutrifft:
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$$|F'(\tilde{x})| < 1$$
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</div>
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<div class="formula">
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**Divergenz**
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Eine Fixpunktiteration is divergent (also unberechenbar), wenn folgendes zutrifft:
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$$|F'(\tilde{x})| \ge 1$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
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- $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
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- $x$: Das genaue Resultat für $x$
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- $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
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- $x_n$: Die $n$-te Approximation für $x$
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</div>
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#### Banachscher Fixpunktsatz
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Der Fixpunktsatz dient dazu, abzuschätzen, wie gross der Fehler des Ergebnisses einer Fixpunktiteration in etwa ist.
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<div class="formula">
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Fixpunktsatz:
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$$|F(x) - F(y)| \le \alpha \cdot |x - y| \text{für alle }x,y \in [a, b]$$
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Alternative Umformung:
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$$\frac{|F(x) - F(y)|}{|x - y|} \le \alpha$$
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</div>
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<div class="formula">
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**Fehlerabschätzung:**
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a-priori Abschätzung:
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$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|$$
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a-posteriori Abschätzung:
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$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|$$
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</div>
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<div class="formula">
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Konstante $\alpha$:
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$$\alpha = \max_{x_0 \in [a, b]}| F'(x_0)|$$
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$$\alpha \approx |F'(\tilde{x})|$$
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</div>
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Folgendermassen kann dieser aufgestellt werden:
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> ***Note:***
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> In dieser Passage wird sowohl $a$ (der Buchstabe "a") als auch $\alpha$ (Alpha) verwendet. Diese haben hier eine unterschiedliche Bedeutung.
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1. Start- und Endpunkt $a$ und $b$ auswählen, welche genau einen Fixpunkt $\tilde{x}$ beinhalten
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2. Prüfen, ob folgendes Zutrifft: Alle Ergebnisse von $F([a, b])$ befinden sich im Intervall $[a, b]$
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3. Konstante $\alpha$ berechnen (gem. Formel)
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4. Die a-priori und die a-posteriori Abschätzung kann nun beliebig angewendet werden. Hierbei wird für $x_0$ der Wert $a$ verwendet.
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### Newton-Verfahren
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Das Newton-Verfahren erreicht die Konvergenz (d.h. das (approximierte) Resultat) um einiges schneller.
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Hierfür wird die Funktion $f$ in der Nullstellenform benötigt ($f(x) = \text{[...]} = 0$).
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<div class="formula">
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Newton-Verfahren:
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
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</div>
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<div class="formula">
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Vereinfachtes Newton-Verfahren:
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_0)}$$
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</div>
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<div class="formula">
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Konvergenz-Kontrolle:
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$$\left|\frac{f(x) \cdot f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1$$
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Das Ergebnis ist wahr, wenn mit dem gewählten $x$ eine Konvergenz erreicht werden kann.
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</div>
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1. Startpunkt $x_0$ in der Nähe einer Nullstelle wählen
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2. (Wahlweise vereinfachtes) Newton-Verfahren anwenden bis $x_n$ und $x_{n + 1}$ bis Ausgangsbedingung erreicht wird
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### Sekantenverfahren
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<div class="formula">
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})} \cdot f(x_n)$$
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</div>
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Vorgang:
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1. Startpunkte $x_0$ und $x_1$ wählen (Punkte, die eine Nullstelle umschliessen)
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2. Iteration durchführen, bis Ausgangsbedingung erfüllt wird
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### Konvergenz-Ordnung
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<div class="formula">
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Ein Verfahren hat eine Konvergenz-Ordnung $q \ge 1$, wenn es eine Konstante $c > 0$ für die für alle $n$ Iterations-Schritte gilt:
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$$|x_{n + 1} - \tilde{x}| \le c \cdot |x_n - \tilde{x}|^q$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $c$: Beliebige Konstante
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- $q$: Konvergenz-Ordnung
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- Für Newton-Verfahren: $q = 2$
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- Für vereinfachtes Newton-Verfahren: $q = 1$
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- Für Sekanten-Verfahren: $1 = (1 + \sqrt{5}) : 2 \approx 1.618$
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</div>
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### Fehlerabschätzung
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<div class="formula">
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Wenn folgendes zutrifft:
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$$f(x_n - \varepsilon) \cdot f(x_n + \varepsilon) < 0$$
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Schneidet $f$ zwischen $x_n - \varepsilon$ und $x_n + \varepsilon$ die Nullstelle.
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Deswegen gilt folgendes:
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$$|x_n - \xi| < \varepsilon$$
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Sprich: Der Fehler ist kleiner als $\varepsilon$.
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</div>
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Vorgang:
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- $\varepsilon$ suchen, für die oben genannte Bedingung zutrifft
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- Der maximale Fehler ist $\varepsilon$
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<div class="letters">
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- $x_n$: Der approximierte $x$-Wert nach der $n$-ten Iteration
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- $\varepsilon$: Der maximale Fehler
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- $\xi$: Der Schnittpunkt der Nullstelle
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</div>
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### Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem
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<div class="letters">
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- $\alpha$: Lipschitz-Konstante
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- $[a, b]$: Der
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- $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
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- $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
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- $x$ und $y$: Beliebig gewählte Punkte im Interval $[a,b]$
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- $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
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- $x_n$ Die $n$-te Approximation von $x$
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</div>
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## Formelbuchstaben
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<div class="letters">
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- $\alpha$: Lipschitz-Konstante (siehe Fixpunktsatz)
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- $[a,b]$: Das Untersuchungs-Interval für den Banachschen Fixpunktsatz
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- $B$: Basis der Maschinenzahl
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- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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- $K$: Konditionszahl
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- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
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- $q$: Konvergenz-Ordnung
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- $x$: Darzustellender Wert
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- $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
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- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
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</div>
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