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Manuel Thalmann 140d4e45ac Add chapter 3

2023-01-07 16:33:32 +01:00

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Höhere Mathematik

Inhalt

Höhere Mathematik

Einführung

Einsatzgebiet

Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit
Berechnung von Algorithmen durch Computer
- Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung
- Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance

Arten von Lösungen

Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit
Näherungsverfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte

Verbindung zur Informatik

Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen
Speicherung und Darstellung von Zahlen
Computergrafik & Bildverarbeitung
Neuronale Netze

Typische Fragestellungen

Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus?
Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
Numerische Integration

Rechnerarithmetik

Maschinenzahl

Maschinenzahlen werden als Zahlen x in folgender Form dargestellt:

x = m \cdot B^e

x: Die zu repräsentierende Zahl
m: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert)
B: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl
e: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse m)

Beispiel: 1337 = 0.1337 * 10^4

Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn

für die Mantisse m 0.1 <= |m| < 1.0 zutrifft

Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.

Grenzen von Maschinenzahlen

x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}

x_min = B^{e_{min} - 1}

Datentypen gem. IEEE

float oder single: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse m, 8 Bit für Exponent e

double: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse m, 11 Bit für Exponent e

Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit

Absoluter Fehler:

|\tilde{x} - x|

Relativer Fehler:

\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}

Maximaler absoluter Rundungsfehler:

\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}

Maschinengenauigkeit oder maximaler relativer Rundungsfehler:

\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}

Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:

Relativ:

\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)} \cdot \frac{\tilde{x} - x}{x}

Absolut:

|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|

B: Die Basis der Maschinenzahl
e: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: 0)
n: Die Anzahl Stellen der Mantisse m
x: Der darzustellende Wert
\tilde{x}: Die Annäherung/Approximation an x
f: Auszuwertende Funktion

Konditionszahl

Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.

Eine niedrige Konditionszahl (K \le 1) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine hohe Konditionszahl ein grosses Fehlerrisiko.

Formel:

Konditionszahl:

K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}

Nullstellenprobleme

Lernziele

Sie kennen die Begriffe "Fixpunktgleichung", "Fixpunktiteration" sowie anziehender/abstossender Fixpunkt
Sie können eine Fixpunktgleichung zu einer Aufgabenstellung aufstellen
Mögliche Fehler mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatz quantifizieren
Newtonverfahren sowie das Sekantenverfahren anwenden
Den Begriff Konvergenzordnung verstehen

Problemstellung und Ansatz

Es wird der korrekte Wert x für eine Aufgabe gesucht.

Aufgabe ausformulieren:
x = \sqrt{A}
Aufgabe zu Nullstellenproblem umformulieren (Funktion, die bei gesuchtem x immer 0 ergibt): f(x) = x^2 - A
(Algorithmisch) richtiges x finden, bei dem die Funktion 0 ergibt
Das gefundene x ist die Lösung

Note:
Als Ausgangsbedingung für eine numerische Lösung eines Nullstellenproblems können diverse Bedingungen verwendet werden wie etwa:

Eine bestimmte Anzahl Iterationen

Abstand zwischen x_n und x_{n + 1} unterschreitet Threshold (approximiertes Resultat)

Ein niedriger Threshold ergibt ein genaueres Resultat

Ein Threshold von 0 ergibt das genaue Resultat

Fixpunktiteration

Ein möglicher Ansatz für ein solches Problem ist eine Fixpunktiteration.

Der Vorgang für eine solche ist folgende:

Die Funktion in die Form F(x) = x.
Beispiel für f(x) = x^2 - A:
F(x) = \sqrt{A}
Beliebigen Wert für x_0 wählen (vorzugsweise Wert in Nähe von erwarteter Lösung)
Fixpunktiteration x_{n + 1} berechnen:
x_{n+1} = F(x_n)

Dies wird durchgeführt bis die Ausgangsbedingung erfüllt ist.

Code-Beispiel:

import math

threshold = 10 ** -6

def f(x): # Funktion f in Nullstellenform
  return math.cos(x) - x

def F(x): # Funktion f in Fixpunktform
  return math.cos(x)

def F_(x): # Die Ableitung F'(x)
  return return -math.sin(x)

x = 0.75 # Startwert - angenommene, etwaige Lösung

if F_(x) >= 1:
  print("Fehler: Fixpunktiteration divergiert!")
else:
  while math.abs(x - F(x)) >= threshold:
    x = F(x)
  
  print(f"Approximierte Lösung: {x}")

Konvergenz

Eine Fixpunktiteration is konvergent (also berechenbar), wenn folgendes zutrifft:

|F'(\tilde{x})| < 1

Divergenz

Eine Fixpunktiteration is divergent (also unberechenbar), wenn folgendes zutrifft:

|F'(\tilde{x})| \ge 1

F(x): Die Fixpunktgleichung
F'(x): Die Ableitung der Fixpunktgleichung
x: Das genaue Resultat für x
\tilde{x}: Das approximierte Resultat für x (Fixpunkt)
x_n: Die $n$-te Approximation für x

Banachscher Fixpunktsatz

Der Fixpunktsatz dient dazu, abzuschätzen, wie gross der Fehler des Ergebnisses einer Fixpunktiteration in etwa ist.

Fixpunktsatz:

|F(x) - F(y)| \le \alpha \cdot |x - y| \text{für alle }x,y \in [a, b]

Alternative Umformung:

\frac{|F(x) - F(y)|}{|x - y|} \le \alpha

Fehlerabschätzung:

a-priori Abschätzung:

|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|

a-posteriori Abschätzung:

|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|

Konstante \alpha:

\alpha = \max_{x_0 \in [a, b]}| F'(x_0)|

\alpha \approx |F'(\tilde{x})|

Folgendermassen kann dieser aufgestellt werden:

Note:
In dieser Passage wird sowohl a (der Buchstabe "a") als auch \alpha (Alpha) verwendet. Diese haben hier eine unterschiedliche Bedeutung.

Start- und Endpunkt a und b auswählen, welche genau einen Fixpunkt \tilde{x} beinhalten
Prüfen, ob folgendes Zutrifft: Alle Ergebnisse von F([a, b]) befinden sich im Intervall [a, b]
Konstante \alpha berechnen (gem. Formel)
Die a-priori und die a-posteriori Abschätzung kann nun beliebig angewendet werden. Hierbei wird für x_0 der Wert a verwendet.

Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren erreicht die Konvergenz (d.h. das (approximierte) Resultat) um einiges schneller.

Hierfür wird die Funktion f in der Nullstellenform benötigt (f(x) = \text{[...]} = 0).

Newton-Verfahren:

x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Vereinfachtes Newton-Verfahren:

x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_0)}

Konvergenz-Kontrolle:

\left|\frac{f(x) \cdot f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1

Das Ergebnis ist wahr, wenn mit dem gewählten x eine Konvergenz erreicht werden kann.

Startpunkt x_0 in der Nähe einer Nullstelle wählen
(Wahlweise vereinfachtes) Newton-Verfahren anwenden bis x_n und x_{n + 1} bis Ausgangsbedingung erreicht wird

Sekantenverfahren

x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})} \cdot f(x_n)

Vorgang:

Startpunkte x_0 und x_1 wählen (Punkte, die eine Nullstelle umschliessen)
Iteration durchführen, bis Ausgangsbedingung erfüllt wird

Konvergenz-Ordnung

Ein Verfahren hat eine Konvergenz-Ordnung q \ge 1, wenn es eine Konstante c > 0 für die für alle n Iterations-Schritte gilt:

|x_{n + 1} - \tilde{x}| \le c \cdot |x_n - \tilde{x}|^q

c: Beliebige Konstante
q: Konvergenz-Ordnung
- Für Newton-Verfahren: q = 2
- Für vereinfachtes Newton-Verfahren: q = 1
- Für Sekanten-Verfahren: 1 = (1 + \sqrt{5}) : 2 \approx 1.618

Fehlerabschätzung

Wenn folgendes zutrifft:

f(x_n - \varepsilon) \cdot f(x_n + \varepsilon) < 0

Schneidet f zwischen x_n - \varepsilon und x_n + \varepsilon die Nullstelle.

Deswegen gilt folgendes:

|x_n - \xi| < \varepsilon

Sprich: Der Fehler ist kleiner als \varepsilon.