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Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

@@ -404,6 +404,61 @@ $$y' = f(x) \cdot g(y)$$
 >   - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar
 >   - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar
 
+#### Lösungsweg
+  1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:  
+     $y' = \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$
+  2. Trennung der Variablen:  
+     $\frac{dy}{g(y)} = f(x) \cdot dx$
+  3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:  
+     $\int{\frac{dy}{g(y)} = \int{f(x) \cdot dx}}$
+  4. Auflösen nach $y$
+
+#### Beispiel
+$$y' = k \cdot y$$
+
+**1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:**
+
+$$y' = \frac{dy}{dx} = \underbrace{k}_{f(x)} \cdot \underbrace{y}_{g(y)}$$
+
+**2. Trennung der Variablen:**
+
+Alle $x$ und $y$ auf separate Seite des $=$ bringen:
+
+$$\frac{dy}{y} = k \cdot dx$$
+
+**3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:**
+
+$$\int{\frac{dy}{y}} = \int{\frac{1}{y}}dy = \ln(|y|) \\
+\int{k \cdot dx} = k \cdot x + C \\
+\ln(|y|) = k \cdot x + C$$
+
+**4. Auflösen nach $y$:**
+
+$$\ln(|y|) = k \cdot x + C \\
+|y| = e^{k \cdot x + C} \\
+y = \pm e^{k \cdot x + C} = \underbrace{\pm e^C}_{a} \cdot e^{k \cdot x} = a \cdot e^{k \cdot x}$$
+
+**Kontrolle:**
+
+$$y' = (a \cdot e^{k \cdot x})' = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x} \\
+k \cdot y = k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \\
+y' = k \cdot y$$
+
+### Autonome Differentialgleichung
+Als autonom werden die Differentialgleichungen bezeichnet, die sich in folgende Form bringen lassen:
+
+$$y' = f(y)$$
+
+#### Beispiele
+| Gleichung                                    | Autonom? |
+| -------------------------------------------- | -------- |
+| $y' = y^2 + 6$                               | Ja       |
+| $y' = x + y$                                 | Nein     |
+| $y' = \frac{y}{x}$                           | Nein     |
+| $y' = y^2 \cdot \sqrt{1 - \sin(y)} - \ln(y)$ | Ja       |
+
+#### Lösungsweg
+Gleich wie [separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen).
 
 [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]