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Manuel Thalmann 2022-06-11 18:10:23 +02:00
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@ -404,6 +404,61 @@ $$y' = f(x) \cdot g(y)$$
> - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar
> - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar
#### Lösungsweg
1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:
$y' = \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$
2. Trennung der Variablen:
$\frac{dy}{g(y)} = f(x) \cdot dx$
3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:
$\int{\frac{dy}{g(y)} = \int{f(x) \cdot dx}}$
4. Auflösen nach $y$
#### Beispiel
$$y' = k \cdot y$$
**1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:**
$$y' = \frac{dy}{dx} = \underbrace{k}_{f(x)} \cdot \underbrace{y}_{g(y)}$$
**2. Trennung der Variablen:**
Alle $x$ und $y$ auf separate Seite des $=$ bringen:
$$\frac{dy}{y} = k \cdot dx$$
**3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:**
$$\int{\frac{dy}{y}} = \int{\frac{1}{y}}dy = \ln(|y|) \\
\int{k \cdot dx} = k \cdot x + C \\
\ln(|y|) = k \cdot x + C$$
**4. Auflösen nach $y$:**
$$\ln(|y|) = k \cdot x + C \\
|y| = e^{k \cdot x + C} \\
y = \pm e^{k \cdot x + C} = \underbrace{\pm e^C}_{a} \cdot e^{k \cdot x} = a \cdot e^{k \cdot x}$$
**Kontrolle:**
$$y' = (a \cdot e^{k \cdot x})' = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x} \\
k \cdot y = k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \\
y' = k \cdot y$$
### Autonome Differentialgleichung
Als autonom werden die Differentialgleichungen bezeichnet, die sich in folgende Form bringen lassen:
$$y' = f(y)$$
#### Beispiele
| Gleichung | Autonom? |
| -------------------------------------------- | -------- |
| $y' = y^2 + 6$ | Ja |
| $y' = x + y$ | Nein |
| $y' = \frac{y}{x}$ | Nein |
| $y' = y^2 \cdot \sqrt{1 - \sin(y)} - \ln(y)$ | Ja |
#### Lösungsweg
Gleich wie [separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen).
[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]