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Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

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+# Höhere Mathematik
+## Inhalt
+- [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik)
+  - [Inhalt](#inhalt)
+  - [Einführung](#einführung)
+    - [Einsatzgebiet](#einsatzgebiet)
+    - [Arten von Lösungen](#arten-von-lösungen)
+    - [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik)
+    - [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen)
+  - [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik)
+    - [Lernziele](#lernziele)
+    - [Maschinenzahl](#maschinenzahl)
+    - [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen)
+    - [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee)
+    - [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit)
+    - [Konditionszahl](#konditionszahl)
+  - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
+  - [Glossar](#glossar)
+
+## Einführung
+### Einsatzgebiet
+  - Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit
+  - Berechnung von Algorithmen durch Computer
+    - Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung
+    - Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance
+
+### Arten von Lösungen
+  - Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit
+  - Näherungsverfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte
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+### Verbindung zur Informatik
+  - Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen
+  - Speicherung und Darstellung von Zahlen
+  - Computergrafik & Bildverarbeitung
+  - Neuronale Netze
+
+### Typische Fragestellungen
+  - Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus?
+  - Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
+  - Numerische Integration
+
+## Rechnerarithmetik
+### Lernziele
+  - [ ] Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen
+  - [ ] Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen
+  - [ ] Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen
+
+### Maschinenzahl
+Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt:
+
+$x = m \cdot B^e$
+
+  - $x$: Die zu repräsentierende Zahl
+  - $m$: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert)
+  - $B$: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl
+  - $e$: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse $m$)
+
+Beispiel:
+$1337 = 0.1337 * 10^4$
+
+Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn
+  - für die Mantisse $m$ $0.1 <= |m| < 1.0$ zutrifft
+
+Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.
+
+### Grenzen von Maschinenzahlen
+$x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$
+
+$x_min = B^{e_{min} - 1}$
+
+### Datentypen gem. IEEE
+`float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$
+
+`double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$
+
+### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
+Absoluter Fehler:
+
+$$|\tilde{x} - x|$$
+
+Relativer Fehler:
+
+$$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
+
+
+Maximaler **absoluter** Rundungsfehler:
+
+$$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$
+
+**Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler:
+
+$$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$
+
+Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:
+
+Relativ:
+
+$$\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)} \cdot \frac{\tilde{x} - x}{x}$$
+
+Absolut:
+
+$$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
+
+  - $B$: Die Basis der Maschinenzahl
+  - $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$)
+  - $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$
+  - $x$: Der darzustellende Wert
+  - $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$
+  - $f$: Auszuwertende Funktion
+
+### Konditionszahl
+Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.
+
+Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine hohe Konditionszahl ein grosses Fehlerrisiko.
+
+Formel:
+
+$$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
+
+## Formelbuchstaben
+  - $B$: Basis der Maschinenzahl
+  - $e$: Exponent der Maschinenzahl
+  - $K$: Konditionszahl
+  - $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
+  - $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
+  - $x$: Darzustellender Wert
+  - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
+## Glossar