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Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

@@ -359,9 +359,52 @@ Differentialgleichungen 1. Ordnung lassen sich als Richtungsfelder darstellen:
 
 <p id="slope-field"></p>
 
+Obig zu sehen ist das Richtungsfeld für die Differentialgleichung $y' = x - y + 1$.
+
 Die Striche zeigen jeweils die Steigung, die das Resultate der Differentialgleichung mit dem entsprechenden $x$- und $y$-Wert hat.
 
 Hierbei steht $0$ für keine Steigung (waagerecht), -1 für eine 45°-Senkung nach unten und 1 für eine 45°-Steigung nach oben.
+
+Alternativ lässt sich die Differentialgleichung auch in tabellarischer Form für $y'$ darstellen:
+
+| $f'(x_0, y_0)$ | $x_0 = -3$ | $x_0 = -2$ | $x_0 = -1$ | $x_0 = 0$ | $x_0 = 1$ | $x_0 = 2$ | $x_0 = 3$ |
+| :------------: | :--------: | :--------: | :--------: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: |
+|   $y_0 = 2$    |    $-4$    |    $-3$    |    $-2$    |   $-1$    |    $0$    |    $1$    |    $2$    |
+|   $y_0 = 1$    |    $-3$    |    $-2     |    $-1$    |    $0$    |    $1$    |    $2$    |    $3$    |
+|   $y_0 = 0$    |    $-2$    |    $-1$    |    $0$     |    $1$    |    $2$    |    $3$    |    $4$    |
+|   $y_0 = -1$   |    $-1$    |    $0$     |    $1$     |    $2$    |    $3$    |    $4$    |    $5$    |
+|   $y_0 = -2$   |    $0$     |    $1$     |    $2$     |    $3$    |    $4$    |    $5$    |    $6$    |
+
+#### Euler-Schritte
+Ein Weg, um eine Lösung für eine Differentialgleichung zu approximieren ist die Methode der Euler-Schritte.
+
+![](EulerSteps.png)
+
+Beispiel mit folgenden Parametern:  
+$y' = x + y, x_0 = 0, y_0 = 1, h = 1$
+
+| Steigung Gerade                              | Berechnung                        | Beispiel                     |
+| -------------------------------------------- | --------------------------------- | ---------------------------- |
+| $g_0\text{: } m_0 = F(x_0, y_0) = x_0 + y_0$ | $x_1 = x_0 + h$                   | $= 0 + 1 = 1$                |
+| Im Beispiel: $1$                             | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_0, y_0)$ | $= 1 + 1 \cdot (0 + 1) = 2$  |
+| $g_1\text{: } m_1 = F(x_1, y_1) = x_1 + y_1$ | $x_1 = x_0 + h$                   | $= 1 + 1 = 2$                |
+| Im Beispiel: $3$                             | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_1, y_1)$ | $= 2 + 1 \cdot (1 + 2) = 5$  |
+| $g_2\text{: } m_2 = F(x_2, y_2) = x_2 + y_2$ | $x_3 = x_2 + h$                   | $= 2 + 1 = 3$                |
+| Im Beispiel: $7$                             | $y_3 = y_2 + h \cdot F(x_2, y_2)$ | $= 5 + 1 \cdot (2 + 5) = 12$ |
+| etc.                                         | etc.                              | etc.                         |
+
+Den Abstand zwischen den einzelnen Euler-Schritte $h$ kann hierbei frei gewählt werden. Je kleiner $h$ gewählt wird, desto genauer wird das Resultat.
+
+### Separierbare Differentialgleichungen
+#### Definition
+Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _separierbar-, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt:
+$$y' = f(x) \cdot g(y)$$
+
+> #### Beispiele
+>   - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar
+>   - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar
+
+
 [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]
 
 [Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md