Add chapter on determining EV/EWs programmatically

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Manuel Thalmann 2023-01-12 01:41:54 +01:00
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@ -68,6 +68,7 @@
- [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren) - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
- [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren) - [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
- [Theorie](#theorie) - [Theorie](#theorie)
- [$QR$-Verfahren](#qr-verfahren)
- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben) - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
- [Glossar](#glossar) - [Glossar](#glossar)
@ -1531,6 +1532,56 @@ eine Diagonalmatrix ist.
</div> </div>
#### $QR$-Verfahren
Das $QR$-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix $A$.
Der Vorgang ist dabei folgender:
1. $A_0 = A$
2. $P_0 = I_n$
3. Für $i = 0, 1, 2, \dots, \infin$:
1. $QR$-Zerlegung durchführen: $A_i = Q_i \cdot R_i$
2. $A_{i + 1} = R_i \cdot Q_i$
3. $P_{i + 1} = P_i \cdot Q_i$
4. $P_i$ zurückgeben
***Code-Beispiel:***
```py
from numpy import array, identity, sign, sqrt, square, sum, zeros
def qr(A):
A = array(A)
n = A.shape[0]
R = A.reshape((n, n))
Q = identity(n)
for i in range(n - 1):
I = identity(n - i)
Qi = identity(n)
e = zeros((n - i, 1))
e[0][0] = 1
a = R[i:,i:i + 1]
v = a + sign(a[0]) * sqrt(sum(square(a))) * e
u = (1 / sqrt(sum(square(v)))) * v
H = I - 2 * u @ u.T
Qi[i:,i:] = H
R = Qi @ R
Q = Q @ Qi.T
R[i + 1:,i:i + 1] = zeros((n - (i + 1), 1))
return [Q, R]
def EV(A, iterations):
A = array(A)
n = A.shape[0]
P = identity(n)
for i in range(iterations):
[Q, R] = qr(A)
A = R @ Q
P = P @ Q
return [A, P]
```
## Formelbuchstaben ## Formelbuchstaben
<div class="letters"> <div class="letters">