Add chapter on determining EV/EWs programmatically

Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -68,6 +68,7 @@
   - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
     - [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
       - [Theorie](#theorie)
+      - [$QR$-Verfahren](#qr-verfahren)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -1531,6 +1532,56 @@ eine Diagonalmatrix ist.
 
 </div>
 
+#### $QR$-Verfahren
+Das $QR$-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix $A$.
+
+Der Vorgang ist dabei folgender:
+
+ 1. $A_0 = A$
+ 2. $P_0 = I_n$
+ 3. Für $i = 0, 1, 2, \dots, \infin$:
+    1. $QR$-Zerlegung durchführen: $A_i = Q_i \cdot R_i$
+    2. $A_{i + 1} = R_i \cdot Q_i$
+    3. $P_{i + 1} = P_i \cdot Q_i$
+ 4. $P_i$ zurückgeben
+
+***Code-Beispiel:***
+
+```py
+from numpy import array, identity, sign, sqrt, square, sum, zeros
+
+def qr(A):
+    A = array(A)
+    n = A.shape[0]
+    R = A.reshape((n, n))
+    Q = identity(n)
+
+    for i in range(n - 1):
+        I = identity(n - i)
+        Qi = identity(n)
+        e = zeros((n - i, 1))
+        e[0][0] = 1
+        a = R[i:,i:i + 1]
+        v = a + sign(a[0]) * sqrt(sum(square(a))) * e
+        u = (1 / sqrt(sum(square(v)))) * v
+        H = I - 2 * u @ u.T
+        Qi[i:,i:] = H
+        R = Qi @ R
+        Q = Q @ Qi.T
+        R[i + 1:,i:i + 1] = zeros((n - (i + 1), 1))
+    return [Q, R]
+
+def EV(A, iterations):
+    A = array(A)
+    n = A.shape[0]
+    P = identity(n)
+    for i in range(iterations):
+        [Q, R] = qr(A)
+        A = R @ Q
+        P = P @ Q
+    return [A, P]
+```
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">