Add remaining differential examples

Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

@@ -460,6 +460,97 @@ $$y' = f(y)$$
 #### Lösungsweg
 Gleich wie [separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen).
 
+### Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
+Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _lineare_, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt:
+$$y' = f(x) \cdot y + g(x)$$
+
+$g(x)$ wird hierbei als _Störglied_ oder _Störfunktion_ bezeichnet.
+
+Solche Differentialgleichungen nennen sich _"linear"_, weil sowohl $y$ als auch $y'$ keinen Exponenten haben. Es spielt es keine Rolle, ob $x$ in $f(x)$ oder $g(x)$ eine Potenz hat.
+
+Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist dann _homogen_, wenn $g(x)$ $0$ entspricht. In allen anderen Fällen ist die Differentialgleichung _inhomogen_.
+
+#### Lösungswege
+##### Lösung durch Variabel-Separierung
+Beispiel anhand folgender Formel:
+$$y' = \frac{2y}{x} + x^3$$
+
+**1. Komponenten der linearen Differentialgleichung bestimmen:**
+$$\begin{align*}
+  f(x) &= \frac{2}{x} \\
+  g(x) &= x^3
+\end{align*}$$
+
+**2. Homogenen Anteil berechnen:**
+
+In diesem Schritt wird die Differentialgleichung ***ohne $g(x)$*** berechnet.
+
+Dies funktioniert mit Hilfe der Variabel-Trennung nach folgender Formel:
+
+$$y_h = C \cdot e^{\int{f(x)}dx}$$
+
+Für das Beispiel ergibt das folgendes:
+
+$$y_h = C \cdot e^{\int{\frac{2}{x}}} = C \cdot e^{2 \cdot \ln(|x|)} = C \cdot e^{\ln(|x|^2)} = C \cdot e^{\ln(x^2)} = C \cdot x^2$$
+
+**3. Partikulären Anteil berechnen:**
+
+Mit Hilfe der folgenden Formel kann der Partikuläre Anteil berechnet werden:
+
+$$y_P = y_h \cdot \int{\frac{g(x)}{y_h}}dx$$
+
+Für das Beispiel ergibt das wiederum:
+
+$$y_P = C \cdot x^2 \cdot \int{\frac{x^3}{C \cdot x^2}}dx = x^2 \cdot \int{x} = x^2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{2}$$
+
+**4. Homogenen und Partikulären Anteil addieren:**
+
+$$y = y_h + y_P = C \cdot x^2 + \frac{x^4}{2}$$
+
+##### Lösung durch Variation der Konstanten
+Eine weitere Möglichkeit ist das Verfahren "Variation der Konstanten".
+
+Folgend ein Beispiel anhand folgender Differentialgleichung:
+
+$$y' = \cos(x) - \frac{y}{x}\text{ für x > 0}$$
+
+**1. Komponenten bestimmen:**
+
+$$\begin{align*}
+  f(x) &= -\frac{1}{x} \\
+  g(x) &= \cos(x) \\
+  F(x) &= -\ln(x)\text{ für x > 0}
+\end{align*}$$
+
+**2. Homogene Gleichung berechnen:**
+
+Mit Hilfe folgender Formel lässt sich der homogene Anteil berechnen:
+
+$$y_0 = C \cdot e^{F(x)}$$
+
+Im aktuellen Beispiel ergibt das folgendes:
+
+$$y_0 = C \cdot e^{F(x)} = C \cdot e^{-\ln(x)} = \frac{C}{x}$$
+
+**3. Konstante $C$ ersetzen**
+
+Im nächsten Schritt wird die Konstante $C$ im zuvor berechneten homogenen Anteil durch folgende Formel ersetzt:
+
+$$K(x) = \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx$$
+
+Für das Beispiel ergibt das folgendes:
+
+$$\begin{align*}
+\frac{K(x)}{x} \\
+  &= \frac{1}{x} \cdot \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx \\
+  &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot e^{\ln(x)}}dx \\
+  &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot x}dx \\
+  &= \frac{1}{x} \cdot (\sin(x) \cdot x + \cos(x)) \\
+  &= \frac{\sin(x) \cdot x + \cos(x)}{x}
+\end{align*}$$
+
+https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf
+
 [^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]
 
 [Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md