Add explanation concerning EWs and EVs

Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -46,7 +46,6 @@
     - [Fehlerabschätzung](#fehlerabschätzung)
     - [Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem](#formelbuchstaben-zu-nullstellenproblem)
   - [Lineare Gleichungssysteme](#lineare-gleichungssysteme)
-    - [Lernziele](#lernziele)
     - [Eigenschaften](#eigenschaften)
     - [Dreiecks-Matrizen](#dreiecks-matrizen)
     - [Der Gauss-Algorithmus](#der-gauss-algorithmus)
@@ -66,6 +65,7 @@
     - [Konvergenz](#konvergenz)
   - [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
     - [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
+  - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -446,16 +446,6 @@ Vorgang:
 </div>
 
 ## Lineare Gleichungssysteme
-### Lernziele
-  - Sie können...
-    - [ ] Lineare Gleichungssysteme aufstellen
-    - [ ] den Gauss-Algorithmus mit und ohne Pivotisierung
-    - [ ] die LR-Zerlegung
-    - [ ] die QR-Zerlegung
-    - [ ] Jacobi-Verfahren (in Python)
-    - [ ] Gauss-Seidel-Verfahren (in Python)
-    - [ ] Fehlerabschätzungen
-    - [ ] Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen berechnen
 
 <div class="letters">
 
@@ -1388,6 +1378,114 @@ Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
 
 ![](RootComplexNumber.png)
 
+## Eigenwerte und Eigenvektoren
+Für Matrizen $A$ gibt es Vektoren $x$ und Faktoren $\lambda$, für die gilt:
+
+$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
+
+- $x$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenvektoren** von $A$
+- $\lambda$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenwerte** von $A$
+
+<div class="formula">
+
+***Eigenwerte und Eigenvektoren:***
+
+Falls für eine gegebene Matrix $A$, einen beliebigen Vektor $x \not = 0$ und einen beliebigen Wert $\lambda$ folgendes zutrifft:
+
+$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
+
+  - $x$ ist ein **Eigenvektor** von $A$
+  - $\lambda$ ist ein **Eigenwert** von $A$
+
+</div>
+
+In manchen Fällen müssen für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren komplexe Vektoren $z$ normiert werden.
+
+Dies funktioniert folgendermassen:
+
+<div class="formula">
+
+***Normierung komplexer Vektoren:***
+
+$$x = z \cdot \frac{1}{|z|} =
+  \left(
+    \begin{matrix}
+      z_1 \\
+      \vdots \\
+      z_n
+    \end{matrix}
+  \right) \cdot
+  \frac{1}{\sqrt{z_1 \cdot z_1^* + \dots + z_n \cdot z_n^*}}$$
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $z$: Komplexer Vektor
+  - $z_n$: $n$-te Komponente des Vektors $z$
+  - $x$: Normierter Vektor $z$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+***Eigenschaften von Eigenwerten:***
+
+$\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$, fals folgendes gilt:
+
+$$det(A - \lambda \cdot I_n) = 0$$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+***Eigenwerten und die Spur & Determinante von Matrizen:***
+
+  - Die Determinante einer Matrix $A$ ist das Produkt aller Eigenwerte.
+  - Die Spur (trace) - also die Summe aller Diagonalelemente - ist die Summe aller Eigenwerte
+
+$$det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \dots \lambda_n$$
+$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n$$
+
+  - Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist der Kehrwert $\frac{1}{\lambda}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+  - Die Vielfachheit, mit der $\lambda$ in der Determinante auftritt nennt sich **algebraische Vielfachheit** von $\lambda$
+  - Das **Spektrum** $\sigma(A)$ ist die Menge aller Eigenwerte von $A$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+***Eigenwerte in speziellen Matrizen:***
+
+Für Diagonal-Matrizen und Dreiecks-Matrizen gilt:
+  - Die Eigenwerte entsprechen den Diagonal-Elementen.
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+***Eigenraum:***
+
+Als Eigenraum bezeichnet man eine beliebige Anzahl Vektoren, die alle für dein Eigenwert $\lambda$ gelten.
+
+Indem man diese Vektoren kombiniert, lassen sich beliebig viele neue Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bestimmen.
+
+Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ und der Nullvektor $0$ einen **Eigenraum** der Form $\mathbb{C}^n$
+
+  - Die Dimension des Eigenraumes von $\lambda$ bestimmt sich durch folgende Formel:
+    $$n - Rg(A - \lambda \cdot I_n)$$
+    Das Ergebnis nennt sich **geometrische Vielfachheit** und entspricht der Anzahl unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$.
+  - Die geometrische Vielfachheit ist kleiner oder gleich der **algebraischen Vielfachheit**
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $A$: Eine beliebige Matrix
+  - $x$: Eigenvektor einer Matrix $A$
+  - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix $A$
+
+</div>
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
@@ -1410,10 +1508,12 @@ Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
   - $q$: Konvergenz-Ordnung
   - $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
   - $R$: Obere Dreiecksmatrix
+  - $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben)
   - $x$: Darzustellender Wert
   - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
   - $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
+  - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
 
 </div>