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Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

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 <style>
   .formula, .letters {
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+    margin-bottom: 2px;
     color: black;
     padding: 0.5rem;
     border: solid black 2px;
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     - [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik)
     - [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen)
   - [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik)
-    - [Lernziele](#lernziele)
     - [Maschinenzahl](#maschinenzahl)
     - [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen)
     - [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee)
     - [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit)
     - [Konditionszahl](#konditionszahl)
+  - [Nullstellenprobleme](#nullstellenprobleme)
+    - [Problemstellung und Ansatz](#problemstellung-und-ansatz)
+    - [Fixpunktiteration](#fixpunktiteration)
+      - [Banachscher Fixpunktsatz](#banachscher-fixpunktsatz)
+    - [Newton-Verfahren](#newton-verfahren)
+    - [Sekantenverfahren](#sekantenverfahren)
+    - [Konvergenz-Ordnung](#konvergenz-ordnung)
+    - [Fehlerabschätzung](#fehlerabschätzung)
+    - [Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem](#formelbuchstaben-zu-nullstellenproblem)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -56,11 +66,6 @@
   - Numerische Integration
 
 ## Rechnerarithmetik
-### Lernziele
-  - [ ] Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen
-  - [ ] Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen
-  - [ ] Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen
-
 ### Maschinenzahl
 Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt:
 
@@ -162,15 +167,263 @@ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
 
 </div>
 
+## Nullstellenprobleme
+### Problemstellung und Ansatz
+Es wird der korrekte Wert $x$ für eine Aufgabe gesucht.
+
+ 1. Aufgabe ausformulieren:  
+    $x = \sqrt{A}$
+ 2. Aufgabe zu Nullstellenproblem umformulieren (Funktion, die bei gesuchtem $x$ immer $0$ ergibt):
+    $f(x) = x^2 - A$
+ 3. (Algorithmisch) richtiges $x$ finden, bei dem die Funktion $0$ ergibt
+ 4. Das gefundene $x$ ist die Lösung
+
+> ***Note:***  
+> Als Ausgangsbedingung für eine numerische Lösung eines Nullstellenproblems können diverse Bedingungen verwendet werden wie etwa:
+>   - Eine bestimmte Anzahl Iterationen
+>   - Abstand zwischen $x_n$ und $x_{n + 1}$ unterschreitet Threshold (approximiertes Resultat)
+>     - Ein niedriger Threshold ergibt ein genaueres Resultat
+>     - Ein Threshold von $0$ ergibt das genaue Resultat
+
+### Fixpunktiteration
+Ein möglicher Ansatz für ein solches Problem ist eine Fixpunktiteration.
+
+Der Vorgang für eine solche ist folgende:
+
+ 1. Die Funktion in die Form $F(x) = x$.  
+    Beispiel für $f(x) = x^2 - A$:  
+    $F(x) = \sqrt{A}$
+ 2. Beliebigen Wert für $x_0$ wählen (vorzugsweise Wert in Nähe von erwarteter Lösung)
+ 3. Fixpunktiteration $x_{n + 1}$ berechnen:  
+    $x_{n+1} = F(x_n)$
+
+Dies wird durchgeführt bis die Ausgangsbedingung erfüllt ist.
+
+***Code-Beispiel:***
+```py
+import math
+
+threshold = 10 ** -6
+
+def f(x): # Funktion f in Nullstellenform
+  return math.cos(x) - x
+
+def F(x): # Funktion f in Fixpunktform
+  return math.cos(x)
+
+def F_(x): # Die Ableitung F'(x)
+  return return -math.sin(x)
+
+x = 0.75 # Startwert - angenommene, etwaige Lösung
+
+if F_(x) >= 1:
+  print("Fehler: Fixpunktiteration divergiert!")
+else:
+  while math.abs(x - F(x)) >= threshold:
+    x = F(x)
+  
+  print(f"Approximierte Lösung: {x}")
+```
+
+<div class="formula">
+
+**Konvergenz**
+
+Eine Fixpunktiteration is konvergent (also berechenbar), wenn folgendes zutrifft:
+
+$$|F'(\tilde{x})| < 1$$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+**Divergenz**
+
+Eine Fixpunktiteration is divergent (also unberechenbar), wenn folgendes zutrifft:
+
+$$|F'(\tilde{x})| \ge 1$$
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
+  - $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
+  - $x$: Das genaue Resultat für $x$
+  - $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
+  - $x_n$: Die $n$-te Approximation für $x$
+
+</div>
+
+#### Banachscher Fixpunktsatz
+Der Fixpunktsatz dient dazu, abzuschätzen, wie gross der Fehler des Ergebnisses einer Fixpunktiteration in etwa ist.
+
+<div class="formula">
+
+Fixpunktsatz:
+
+$$|F(x) - F(y)| \le \alpha \cdot |x - y| \text{für alle }x,y \in [a, b]$$
+
+Alternative Umformung:
+
+$$\frac{|F(x) - F(y)|}{|x - y|} \le \alpha$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+**Fehlerabschätzung:**
+
+a-priori Abschätzung:
+
+$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|$$
+
+a-posteriori Abschätzung:
+
+$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|$$
+
+</div>
+
+<div class="formula">
+
+Konstante $\alpha$:
+
+$$\alpha = \max_{x_0 \in [a, b]}| F'(x_0)|$$
+
+$$\alpha \approx |F'(\tilde{x})|$$
+
+</div>
+
+Folgendermassen kann dieser aufgestellt werden:
+
+> ***Note:***  
+> In dieser Passage wird sowohl $a$ (der Buchstabe "a") als auch $\alpha$ (Alpha) verwendet. Diese haben hier eine unterschiedliche Bedeutung.
+
+ 1. Start- und Endpunkt $a$ und $b$ auswählen, welche genau einen Fixpunkt $\tilde{x}$ beinhalten
+ 2. Prüfen, ob folgendes Zutrifft: Alle Ergebnisse von $F([a, b])$ befinden sich im Intervall $[a, b]$
+ 3. Konstante $\alpha$ berechnen (gem. Formel)
+ 4. Die a-priori und die a-posteriori Abschätzung kann nun beliebig angewendet werden. Hierbei wird für $x_0$ der Wert $a$ verwendet.
+
+### Newton-Verfahren
+Das Newton-Verfahren erreicht die Konvergenz (d.h. das (approximierte) Resultat) um einiges schneller.
+
+Hierfür wird die Funktion $f$ in der Nullstellenform benötigt ($f(x) = \text{[...]} = 0$).
+
+<div class="formula">
+
+Newton-Verfahren:
+
+$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+Vereinfachtes Newton-Verfahren:
+
+$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_0)}$$
+
+</div>
+<div class="formula">
+
+Konvergenz-Kontrolle:
+
+$$\left|\frac{f(x) \cdot f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1$$
+
+Das Ergebnis ist wahr, wenn mit dem gewählten $x$ eine Konvergenz erreicht werden kann.
+
+</div>
+
+ 1. Startpunkt $x_0$ in der Nähe einer Nullstelle wählen
+ 2. (Wahlweise vereinfachtes) Newton-Verfahren anwenden bis $x_n$ und $x_{n + 1}$ bis Ausgangsbedingung erreicht wird
+
+### Sekantenverfahren
+
+<div class="formula">
+
+$$x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})} \cdot f(x_n)$$
+
+</div>
+
+Vorgang:
+
+ 1. Startpunkte $x_0$ und $x_1$ wählen (Punkte, die eine Nullstelle umschliessen)
+ 2. Iteration durchführen, bis Ausgangsbedingung erfüllt wird
+
+### Konvergenz-Ordnung
+
+<div class="formula">
+
+Ein Verfahren hat eine Konvergenz-Ordnung $q \ge 1$, wenn es eine Konstante $c > 0$ für die für alle $n$ Iterations-Schritte gilt:
+
+$$|x_{n + 1} - \tilde{x}| \le c \cdot |x_n - \tilde{x}|^q$$
+
+</div>
+<div class="letters">
+
+  - $c$: Beliebige Konstante
+  - $q$: Konvergenz-Ordnung
+    - Für Newton-Verfahren: $q = 2$
+    - Für vereinfachtes Newton-Verfahren: $q = 1$
+    - Für Sekanten-Verfahren: $1 = (1 + \sqrt{5}) : 2 \approx 1.618$
+
+</div>
+
+### Fehlerabschätzung
+
+<div class="formula">
+
+Wenn folgendes zutrifft:
+
+$$f(x_n - \varepsilon) \cdot f(x_n + \varepsilon) < 0$$
+
+Schneidet $f$ zwischen $x_n - \varepsilon$ und $x_n + \varepsilon$ die Nullstelle.
+
+Deswegen gilt folgendes:
+
+$$|x_n - \xi| < \varepsilon$$
+
+Sprich: Der Fehler ist kleiner als $\varepsilon$.
+
+</div>
+
+Vorgang:
+
+ - $\varepsilon$ suchen, für die oben genannte Bedingung zutrifft
+ - Der maximale Fehler ist $\varepsilon$
+
+<div class="letters">
+
+  - $x_n$: Der approximierte $x$-Wert nach der $n$-ten Iteration
+  - $\varepsilon$: Der maximale Fehler
+  - $\xi$: Der Schnittpunkt der Nullstelle
+
+</div>
+
+### Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem
+
+<div class="letters">
+
+  - $\alpha$: Lipschitz-Konstante
+  - $[a, b]$: Der
+  - $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
+  - $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
+  - $x$ und $y$: Beliebig gewählte Punkte im Interval $[a,b]$
+  - $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
+  - $x_n$ Die $n$-te Approximation von $x$
+
+</div>
+
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
+  - $\alpha$: Lipschitz-Konstante (siehe Fixpunktsatz)
+  - $[a,b]$: Das Untersuchungs-Interval für den Banachschen Fixpunktsatz
   - $B$: Basis der Maschinenzahl
   - $e$: Exponent der Maschinenzahl
   - $K$: Konditionszahl
   - $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
   - $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
+  - $q$: Konvergenz-Ordnung
   - $x$: Darzustellender Wert
+  - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
 
 </div>