Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

@@ -46,6 +46,7 @@
     - [Fehlerabschätzung](#fehlerabschätzung)
     - [Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem](#formelbuchstaben-zu-nullstellenproblem)
   - [Lineare Gleichungssysteme](#lineare-gleichungssysteme)
+    - [Lernziele](#lernziele)
     - [Eigenschaften](#eigenschaften)
     - [Dreiecks-Matrizen](#dreiecks-matrizen)
     - [Der Gauss-Algorithmus](#der-gauss-algorithmus)
@@ -65,7 +66,6 @@
     - [Konvergenz](#konvergenz)
   - [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
     - [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
-  - [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
   - [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
   - [Glossar](#glossar)
 
@@ -446,6 +446,16 @@ Vorgang:
 </div>
 
 ## Lineare Gleichungssysteme
+### Lernziele
+  - Sie können...
+    - [ ] Lineare Gleichungssysteme aufstellen
+    - [ ] den Gauss-Algorithmus mit und ohne Pivotisierung
+    - [ ] die LR-Zerlegung
+    - [ ] die QR-Zerlegung
+    - [ ] Jacobi-Verfahren (in Python)
+    - [ ] Gauss-Seidel-Verfahren (in Python)
+    - [ ] Fehlerabschätzungen
+    - [ ] Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen berechnen
 
 <div class="letters">
 
@@ -1378,114 +1388,6 @@ Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
 
 ![](RootComplexNumber.png)
 
-## Eigenwerte und Eigenvektoren
-Für Matrizen $A$ gibt es Vektoren $x$ und Faktoren $\lambda$, für die gilt:
-
-$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
-
-- $x$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenvektoren** von $A$
-- $\lambda$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenwerte** von $A$
-
-<div class="formula">
-
-***Eigenwerte und Eigenvektoren:***
-
-Falls für eine gegebene Matrix $A$, einen beliebigen Vektor $x \not = 0$ und einen beliebigen Wert $\lambda$ folgendes zutrifft:
-
-$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
-
-  - $x$ ist ein **Eigenvektor** von $A$
-  - $\lambda$ ist ein **Eigenwert** von $A$
-
-</div>
-
-In manchen Fällen müssen für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren komplexe Vektoren $z$ normiert werden.
-
-Dies funktioniert folgendermassen:
-
-<div class="formula">
-
-***Normierung komplexer Vektoren:***
-
-$$x = z \cdot \frac{1}{|z|} =
-  \left(
-    \begin{matrix}
-      z_1 \\
-      \vdots \\
-      z_n
-    \end{matrix}
-  \right) \cdot
-  \frac{1}{\sqrt{z_1 \cdot z_1^* + \dots + z_n \cdot z_n^*}}$$
-
-</div>
-<div class="letters">
-
-  - $z$: Komplexer Vektor
-  - $z_n$: $n$-te Komponente des Vektors $z$
-  - $x$: Normierter Vektor $z$
-
-</div>
-
-<div class="formula">
-
-***Eigenschaften von Eigenwerten:***
-
-$\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$, fals folgendes gilt:
-
-$$det(A - \lambda \cdot I_n) = 0$$
-
-</div>
-<div class="formula">
-
-***Eigenwerten und die Spur & Determinante von Matrizen:***
-
-  - Die Determinante einer Matrix $A$ ist das Produkt aller Eigenwerte.
-  - Die Spur (trace) - also die Summe aller Diagonalelemente - ist die Summe aller Eigenwerte
-
-$$det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \dots \lambda_n$$
-$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n$$
-
-  - Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist der Kehrwert $\frac{1}{\lambda}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$
-
-</div>
-<div class="formula">
-
-  - Die Vielfachheit, mit der $\lambda$ in der Determinante auftritt nennt sich **algebraische Vielfachheit** von $\lambda$
-  - Das **Spektrum** $\sigma(A)$ ist die Menge aller Eigenwerte von $A$
-
-</div>
-<div class="formula">
-
-***Eigenwerte in speziellen Matrizen:***
-
-Für Diagonal-Matrizen und Dreiecks-Matrizen gilt:
-  - Die Eigenwerte entsprechen den Diagonal-Elementen.
-
-</div>
-<div class="formula">
-
-***Eigenraum:***
-
-Als Eigenraum bezeichnet man eine beliebige Anzahl Vektoren, die alle für dein Eigenwert $\lambda$ gelten.
-
-Indem man diese Vektoren kombiniert, lassen sich beliebig viele neue Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bestimmen.
-
-Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ und der Nullvektor $0$ einen **Eigenraum** der Form $\mathbb{C}^n$
-
-  - Die Dimension des Eigenraumes von $\lambda$ bestimmt sich durch folgende Formel:
-    $$n - Rg(A - \lambda \cdot I_n)$$
-    Das Ergebnis nennt sich **geometrische Vielfachheit** und entspricht der Anzahl unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$.
-  - Die geometrische Vielfachheit ist kleiner oder gleich der **algebraischen Vielfachheit**
-
-</div>
-<div class="letters">
-
-  - $A$: Eine beliebige Matrix
-  - $x$: Eigenvektor einer Matrix $A$
-  - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix $A$
-
-</div>
-
 ## Formelbuchstaben
 <div class="letters">
 
@@ -1508,12 +1410,10 @@ Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda
   - $q$: Konvergenz-Ordnung
   - $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
   - $R$: Obere Dreiecksmatrix
-  - $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben)
   - $x$: Darzustellender Wert
   - $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
   - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
   - $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
-  - $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
 
 </div>