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ZHAWNotes/Notes/Semester 1/DM - Diskrete Mathematik/02-Syntax & Semantik.md

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Syntax & Semantik

Definition

Die Syntax beschreibt jeweils die Form, in der Dinge niedergeschrieben oder abgespeichert sind, während die Semantik bedeutet, wie das Geschriebene/das Gespeicherte interpretiert wird.

Folgend einige Beispiele:

Syntax Semantik
Paritur Musik (Schallwellen)
Java-Code Verhalten des Computers
Terme einer mathematischen Theorie Mathematische Objekte
Aussagenlogische Formeln Boolsche Funktionen
Peano-Axiome Die Struktur (\mathbb{N}, +, \cdot etc.)
Feynnman-Diagramm Wechselwirkungen

Abgesehen von den bereits aus dem Kapitel "Grundbegriffe und elementare Logik" bekannten Ausdrücke sind auch folgende Ausdrücke wichtig:

  • \top: Gleichbedeutend mit true
  • \bot: Gleichbedeutend mit false

Darstellung

Um leichter Erkenntnisse über Wahrheitswerte von Aussagen zu ziehen, können diese in verschiedene Darstellungsformen gebracht werden.

Im Folgenden werden einige davon aufgezeigt.

Ableitungsbaum

Ein Ableitungsbaum lässt es zu, den Überblick über eine Aussage bei einer bestimmten Belegung zu geben.

Folgende Formel gilt es darzustellen:

f = (((a \wedge b) \vee (\neg c)) \wedge (a \vee b))

Folgendes ist der Ableitungsbaum unter der Bedingung, dass a = 1, b = 0 und c = 0 entspricht:

flowchart BT;
a((a: 1));
b((b: 0));
c((c: 0));
a --- 1((AND));
b --- 1;
c --- 2((NOT));
1 -- 0 --- 3((OR));
2 -- 1 --- 3;
a --- 4((OR));
b --- 4;
3 -- 1 --- 5((AND));
4 -- 1 --- 5;
5 --- f((f: 1))

Boolsche Funktionen

Ein weiterer Weg, eine Aussage darzustellen ist als boolsche Funktionen.

Hierbei werden jeweils algebraische Operatoren durch eine Funktion ersetzt, die dasselbe aussagt, nämlich folgende:

Operator Funktion
\neg A \text{not}(A)
A \wedge B \text{or}(A, B)
A \vee B \text{and}(A, B)

$$\begin{aligned} \newcommand{\and}{\mathop{\mathrm{and}}} \text{or}(x,y) &= \begin{cases} true & \text{falls} & x = true & \text{oder} & y = true \ false & \text{sonst} \end{cases} \

\text{and}(x,y) &= \begin{cases}
    true & \text{falls} & x = true & \text{und} & y = true \\
    false & \text{sonst}
\end{cases} \\

\text{not}(x) &= \begin{cases}
    true & \text{falls} & x = false \\
    false & \text{sonst}
\end{cases}

\end{aligned}

Wahrheitstabelle

Ein weiterer Weg, welcher es einem erleichtert, Erkenntnisse aus einer Aussage zu treffen, ist das Ausarbeiten einer Wahrheitstabelle, indem man alle einzelnen Terme berechnet.

Folgend ein Beispiel für diesen algebraischen Ausdruck:

p_0 \rightarrow (q \vee p_1)
p_0 q p_1 q \vee p_1 p_0 \rightarrow (q \vee p_1)
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1

Boolsche Operatoren als Wahrheitstabellen

Folgendes sind boolsche Operatoren dargestellt als Wahrheitstabellen.

AND \wedge
F G F \wedge G
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
OR \vee
F G F \vee G
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Implikation \Rightarrow
F G F \Rightarrow G
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Negation \neg

F \neg F
0 1
1 0

Semantische Eigenschaften

Über eine Formel A mit der Belegung B können unter bestimmten Umständen bestimmte Aussagen getroffen werden.

Folgend sind Aussagen und dazugehörige Umstände aufgelistet.

Bezeichnung Alternative Bezeichnung Beschreibung
Gültig richtig oder wahr Die gegebene Formel ist unter der Belegung B wahr.
Allgemeingültig Tautologie oder immer wahr Die gegebene Formel ist, unabhängig der Belegung B, immer wahr.
Ungültig falsch oder unwahr Die gegebene Formel ist unter der Belegung B nicht wahr.
Unerfüllbar Widerspruch oder immer falsch Die gegebene Formel ist, unabhängig der Belegung B, immer falsch.
erfüllbar Es gibt mindestens eine Belegung B unter der die Formel erfüllbar ist.
widerlegbar Es gibt mindestens eine Belegung B unter der die Formel nicht erfüllbar ist.

Normalformen

Normalformen beinhalten generell nur ANDs (\wedge), ORs (\vee) und NOTs (\neg).

Negationsnormalform NNF

Die Negationsnormalform (NNF) ist die Form einer Formel, in der nur atomare (nicht aufteilbare) Teilformeln negiert sind.

Folgendes Beispiel anhand dieser Formel:

\neg(A \rightarrow (B \wedge \neg(C \vee D)))

Diese Form ist nicht komplett normalisiert, da sie den Operator \rightarrow beinhaltet. Dieser Operator wird im Folgenden umgeformt.

\neg(\neg A \vee (B \wedge \neg(C \vee D)))

Diese Formel ist keine NNF, da 2 nicht-atomare Formeln negiert sind. Im Folgenden werden diese entfernt.

(\neg\neg A \wedge \neg(B \wedge (\neg C \wedge \neg D)))
(\neg\neg A \wedge (\neg B \vee \neg(\neg C \wedge \neg D)))

Nun ist nur noch eine letzte nicht-atomare Teilformel negiert. Dieser Teil wird nun entfernt:

(\neg\neg A \wedge (\neg B \vee (\neg\neg C \vee \neg\neg D)))

In einem letzten Schritt werden nun doppelte Negationen weg vereinfacht:

(A \wedge (\neg B \vee (C \vee D)))

Bei dieser Formel handelt es sich nun um eine Negationsnormalform (NNF), da nur atomare Teilformeln negiert sind und nur $\neg$s, $\vee$s und $\wedge$s in der Formel genutzt werden.

Disjunktive Normalform DNF

Die Disjunktive Normalform ist eine Umformung der Formel, in der alle Belegungen für die die Formel true ergibt, mit einander "verodert" werden.

Das sieht folgendermassen aus:

A B C D B \vee D (B \vee D) \wedge C \neg A \wedge ((B \vee D) \wedge C)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0

Wie zu sehen ist, ist diese Formel an folgenden Stellen wahr:

  • \neg A \wedge \neg B \wedge C \wedge D
  • \neg A \wedge B \wedge C \wedge \neg D
  • \neg A \wedge B \wedge C \wedge D

Die DNF erreicht man nun die Teilformeln der genannten Stellen mit einem OR verknüpft:

(\neg A \wedge \neg B \wedge C \wedge D) \vee (\neg A \wedge B \wedge C \wedge \neg D) \vee (\neg A \wedge B \wedge C \wedge D)

Konjunktive Normalform KNF

Bei der Konjunktiven Normalform wiederum, werden alle negierten Belegungen, in denen die gegebene Formel false ergibt miteinander "geandet".

Folgendes wieder anhand eines realen Beispiels:

A B C A \vee C B \vee (A \wedge C)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

An folgenden Stellen ergibt diese Formel false:

  • \neg A \wedge \neg B \wedge \neg C
    Negation: A \vee B \vee C
  • \neg A \wedge \neg B \wedge C
    Negation: A \vee B \vee \neg C
  • A \wedge \neg B \wedge \neg C
    Negation: \neg A \vee B \vee C

Um nun eine KNF zu erhalten müssen die Negationen der genannten Stellen mit dem $\vee$-Operator verknüpft werden:

(A \vee B \vee C) \wedge (A \vee B \vee \neg C) \wedge (\neg A \vee B \vee C)

Quellen