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}
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}
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# Höhere Mathematik
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## Inhalt
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- [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik)
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- [Inhalt](#inhalt)
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- [Einführung](#einführung)
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- [Einsatzgebiet](#einsatzgebiet)
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- [Arten von Lösungen](#arten-von-lösungen)
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- [Verbindung zur Informatik](#verbindung-zur-informatik)
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- [Typische Fragestellungen](#typische-fragestellungen)
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|
- [Rechnerarithmetik](#rechnerarithmetik)
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- [Maschinenzahl](#maschinenzahl)
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- [Grenzen von Maschinenzahlen](#grenzen-von-maschinenzahlen)
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- [Datentypen gem. IEEE](#datentypen-gem-ieee)
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|
- [Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit](#rundungsfehler-und-maschinengenauigkeit)
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|
- [Konditionszahl](#konditionszahl)
|
|
- [Nullstellenprobleme](#nullstellenprobleme)
|
|
- [Problemstellung und Ansatz](#problemstellung-und-ansatz)
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|
- [Fixpunktiteration](#fixpunktiteration)
|
|
- [Banachscher Fixpunktsatz](#banachscher-fixpunktsatz)
|
|
- [Newton-Verfahren](#newton-verfahren)
|
|
- [Sekantenverfahren](#sekantenverfahren)
|
|
- [Konvergenz-Ordnung](#konvergenz-ordnung)
|
|
- [Fehlerabschätzung](#fehlerabschätzung)
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|
- [Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem](#formelbuchstaben-zu-nullstellenproblem)
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|
- [Lineare Gleichungssysteme](#lineare-gleichungssysteme)
|
|
- [Eigenschaften](#eigenschaften)
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|
- [Dreiecks-Matrizen](#dreiecks-matrizen)
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|
- [Der Gauss-Algorithmus](#der-gauss-algorithmus)
|
|
- [Fehlerfortpflanzung und Pivotisierung](#fehlerfortpflanzung-und-pivotisierung)
|
|
- [Determinanten-Bestimmung](#determinanten-bestimmung)
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|
- [Die $LR$-Zerlegung](#die-lr-zerlegung)
|
|
- [$QR$-Zerlegung](#qr-zerlegung)
|
|
- [Housholder-Matrizen](#housholder-matrizen)
|
|
- [Vorgang](#vorgang)
|
|
- [Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen](#fehlerrechnung-bei-linearen-gleichungssystemen)
|
|
- [Vektor- und Matrixnormen](#vektor--und-matrixnormen)
|
|
- [Aufwand-Abschätzung](#aufwand-abschätzung)
|
|
- [Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen](#iterative-verfahren-zur-lösung-von-gleichungssystemen)
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|
- [$LDR$-Zerlegung](#ldr-zerlegung)
|
|
- [Jacobi-Verfahren](#jacobi-verfahren)
|
|
- [Gauss-Seidel-Verfahren](#gauss-seidel-verfahren)
|
|
- [Konvergenz](#konvergenz)
|
|
- [Komplexe Zahlen](#komplexe-zahlen)
|
|
- [Rechen-Regeln](#rechen-regeln)
|
|
- [Eigenwerte und Eigenvektoren](#eigenwerte-und-eigenvektoren)
|
|
- [Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren](#numerische-bestimmung-von-eigenwerten-und-eigenvektoren)
|
|
- [Theorie](#theorie)
|
|
- [$QR$-Verfahren](#qr-verfahren)
|
|
- [Vektor-Iteration](#vektor-iteration)
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|
- [Formelbuchstaben](#formelbuchstaben)
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## Einführung
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### Einsatzgebiet
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- Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit
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- Berechnung von Algorithmen durch Computer
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- Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung
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- Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance
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### Arten von Lösungen
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- Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit
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- Näherungsverfahren/Iteratives Verfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte
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### Verbindung zur Informatik
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- Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen
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- Speicherung und Darstellung von Zahlen
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- Computergrafik & Bildverarbeitung
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- Neuronale Netze
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### Typische Fragestellungen
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- Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus?
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- Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
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- Numerische Integration
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## Rechnerarithmetik
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### Maschinenzahl
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Maschinenzahlen werden als Zahlen $x$ in folgender Form dargestellt:
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$x = m \cdot B^e$
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- $x$: Die zu repräsentierende Zahl
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- $m$: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert)
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- $B$: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl
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- $e$: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse $m$)
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Beispiel:
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$1337 = 0.1337 * 10^4$
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Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn
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- für die Mantisse $m$ $0.1 <= |m| < 1.0$ zutrifft
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Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.
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### Grenzen von Maschinenzahlen
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<div class="formula">
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$x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$
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$x_min = B^{e_{min} - 1}$
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</div>
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### Datentypen gem. IEEE
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`float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$
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`double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$
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### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
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<div class="formula">
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Absoluter Fehler:
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$$|\tilde{x} - x|$$
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</div>
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<div class="formula">
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Relativer Fehler:
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$$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
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</div>
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<div class="formula">
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Maximaler **absoluter** Rundungsfehler:
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$$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$
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</div>
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<div class="formula">
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**Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler:
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$$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$
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</div>
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<div class="formula">
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Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:
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Relativ:
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$$\frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|} \cdot \frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
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Absolut:
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$$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $B$: Die Basis der Maschinenzahl
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- $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$)
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|
- $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$
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- $x$: Der darzustellende Wert
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- $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$
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- $f$: Auszuwertende Funktion
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</div>
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### Konditionszahl
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Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.
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Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine hohe Konditionszahl ein grosses Fehlerrisiko.
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Formel:
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<div class="formula">
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Konditionszahl:
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$$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
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</div>
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## Nullstellenprobleme
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### Problemstellung und Ansatz
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Es wird der korrekte Wert $x$ für eine Aufgabe gesucht.
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1. Aufgabe ausformulieren:
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$x = \sqrt{A}$
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2. Aufgabe zu Nullstellenproblem umformulieren (Funktion, die bei gesuchtem $x$ immer $0$ ergibt):
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$f(x) = x^2 - A$
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3. (Algorithmisch) richtiges $x$ finden, bei dem die Funktion $0$ ergibt
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4. Das gefundene $x$ ist die Lösung
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> ***Note:***
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> Als Ausgangsbedingung für eine numerische Lösung eines Nullstellenproblems können diverse Bedingungen verwendet werden wie etwa:
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> - Eine bestimmte Anzahl Iterationen
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> - Abstand zwischen $x_n$ und $x_{n + 1}$ unterschreitet Threshold (approximiertes Resultat)
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> - Ein niedriger Threshold ergibt ein genaueres Resultat
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> - Ein Threshold von $0$ ergibt das genaue Resultat
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### Fixpunktiteration
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Ein möglicher Ansatz für ein solches Problem ist eine Fixpunktiteration.
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Der Vorgang für eine solche ist folgende:
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1. Die Funktion in die Form $F(x) = x$.
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Beispiel für $f(x) = x^2 - A$:
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$F(x) = \sqrt{A}$
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2. Beliebigen Wert für $x_0$ wählen (vorzugsweise Wert in Nähe von erwarteter Lösung)
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3. Fixpunktiteration $x_{n + 1}$ berechnen:
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$x_{n+1} = F(x_n)$
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Dies wird durchgeführt bis die Ausgangsbedingung erfüllt ist.
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***Code-Beispiel:***
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```py
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import math
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threshold = 10 ** -6
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def f(x): # Funktion f in Nullstellenform
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return math.cos(x) - x
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def F(x): # Funktion f in Fixpunktform
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return math.cos(x)
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def F_(x): # Die Ableitung F'(x)
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return return -math.sin(x)
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x = 0.75 # Startwert - angenommene, etwaige Lösung
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|
if F_(x) >= 1:
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print("Fehler: Fixpunktiteration divergiert!")
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else:
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while math.abs(x - F(x)) >= threshold:
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x = F(x)
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|
|
print(f"Approximierte Lösung: {x}")
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```
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<div class="formula">
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**Konvergenz**
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Eine Fixpunktiteration is konvergent (also berechenbar), wenn folgendes zutrifft:
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$$|F'(\tilde{x})| < 1$$
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</div>
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<div class="formula">
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**Divergenz**
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Eine Fixpunktiteration is divergent (also unberechenbar), wenn folgendes zutrifft:
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$$|F'(\tilde{x})| \ge 1$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
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- $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
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|
- $x$: Das genaue Resultat für $x$
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|
- $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
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|
- $x_n$: Die $n$-te Approximation für $x$
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</div>
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#### Banachscher Fixpunktsatz
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Der Fixpunktsatz dient dazu, abzuschätzen, wie gross der Fehler des Ergebnisses einer Fixpunktiteration in etwa ist.
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<div class="formula">
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Fixpunktsatz:
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$$|F(x) - F(y)| \le \alpha \cdot |x - y| \text{für alle }x,y \in [a, b]$$
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Alternative Umformung:
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$$\frac{|F(x) - F(y)|}{|x - y|} \le \alpha$$
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</div>
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<div class="formula">
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**Fehlerabschätzung:**
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a-priori Abschätzung:
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$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} \cdot |x_1 - x_0|$$
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|
a-posteriori Abschätzung:
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$$|x_n - \tilde{x}| \le \frac{\alpha}{1 - \alpha} \cdot |x_n - x_{n - 1}|$$
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</div>
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<div class="formula">
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Konstante $\alpha$:
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$$\alpha = \max_{x_0 \in [a, b]}| F'(x_0)|$$
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$$\alpha \approx |F'(\tilde{x})|$$
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</div>
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Folgendermassen kann dieser aufgestellt werden:
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> ***Note:***
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> In dieser Passage wird sowohl $a$ (der Buchstabe "a") als auch $\alpha$ (Alpha) verwendet. Diese haben hier eine unterschiedliche Bedeutung.
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1. Start- und Endpunkt $a$ und $b$ auswählen, welche genau einen Fixpunkt $\tilde{x}$ beinhalten
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2. Prüfen, ob folgendes Zutrifft: Alle Ergebnisse von $F([a, b])$ befinden sich im Intervall $[a, b]$
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|
3. Konstante $\alpha$ berechnen (gem. Formel)
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4. Die a-priori und die a-posteriori Abschätzung kann nun beliebig angewendet werden. Hierbei wird für $x_0$ der Wert $a$ verwendet.
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### Newton-Verfahren
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Das Newton-Verfahren erreicht die Konvergenz (d.h. das (approximierte) Resultat) um einiges schneller.
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Hierfür wird die Funktion $f$ in der Nullstellenform benötigt ($f(x) = \text{[...]} = 0$).
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<div class="formula">
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Newton-Verfahren:
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
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|
</div>
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<div class="formula">
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Vereinfachtes Newton-Verfahren:
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_0)}$$
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|
|
</div>
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<div class="formula">
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Konvergenz-Kontrolle:
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$$\left|\frac{f(x) \cdot f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1$$
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Das Ergebnis ist wahr, wenn mit dem gewählten $x$ eine Konvergenz erreicht werden kann.
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</div>
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1. Startpunkt $x_0$ in der Nähe einer Nullstelle wählen
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|
2. (Wahlweise vereinfachtes) Newton-Verfahren anwenden bis $x_n$ und $x_{n + 1}$ bis Ausgangsbedingung erreicht wird
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### Sekantenverfahren
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<div class="formula">
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$$x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})} \cdot f(x_n)$$
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|
</div>
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|
|
Vorgang:
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1. Startpunkte $x_0$ und $x_1$ wählen (Punkte, die eine Nullstelle umschliessen)
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|
2. Iteration durchführen, bis Ausgangsbedingung erfüllt wird
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|
### Konvergenz-Ordnung
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<div class="formula">
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Ein Verfahren hat eine Konvergenz-Ordnung $q \ge 1$, wenn es eine Konstante $c > 0$ für die für alle $n$ Iterations-Schritte gilt:
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$$|x_{n + 1} - \tilde{x}| \le c \cdot |x_n - \tilde{x}|^q$$
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|
</div>
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<div class="letters">
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- $c$: Beliebige Konstante
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- $q$: Konvergenz-Ordnung
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|
- Für Newton-Verfahren: $q = 2$
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|
- Für vereinfachtes Newton-Verfahren: $q = 1$
|
|
- Für Sekanten-Verfahren: $1 = (1 + \sqrt{5}) : 2 \approx 1.618$
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|
|
|
</div>
|
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|
|
### Fehlerabschätzung
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|
<div class="formula">
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|
Wenn folgendes zutrifft:
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$$f(x_n - \varepsilon) \cdot f(x_n + \varepsilon) < 0$$
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|
Schneidet $f$ zwischen $x_n - \varepsilon$ und $x_n + \varepsilon$ die Nullstelle.
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Deswegen gilt folgendes:
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$$|x_n - \xi| < \varepsilon$$
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Sprich: Der Fehler ist kleiner als $\varepsilon$.
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|
</div>
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|
Vorgang:
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- $\varepsilon$ suchen, für die oben genannte Bedingung zutrifft
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|
- Der maximale Fehler ist $\varepsilon$
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|
<div class="letters">
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|
- $x_n$: Der approximierte $x$-Wert nach der $n$-ten Iteration
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|
- $\varepsilon$: Der maximale Fehler
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|
- $\xi$: Der Schnittpunkt der Nullstelle
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|
|
</div>
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|
### Formelbuchstaben zu Nullstellenproblem
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|
<div class="letters">
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- $\alpha$: Lipschitz-Konstante
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|
- $[a, b]$: Der
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|
- $F(x)$: Die Fixpunktgleichung
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|
- $F'(x)$: Die Ableitung der Fixpunktgleichung
|
|
- $x$ und $y$: Beliebig gewählte Punkte im Interval $[a,b]$
|
|
- $\tilde{x}$: Das approximierte Resultat für $x$ (Fixpunkt)
|
|
- $x_n$ Die $n$-te Approximation von $x$
|
|
|
|
</div>
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## Lineare Gleichungssysteme
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<div class="letters">
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|
**Lineares Gleichungssystem:**
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Lineare Gleichungssysteme haben jeweils die Form $A \cdot x = b$ wobei $A$ und $b$ gegeben und $x$ gesucht ist:
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$$A = \left(
|
|
\begin{matrix}
|
|
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
|
|
\vdots & \vdots & & \vdots \\
|
|
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
|
\end{matrix}
|
|
\right),
|
|
x = \left(
|
|
\begin{matrix}
|
|
x_1 \\
|
|
x_2 \\
|
|
\vdots \\
|
|
x_n
|
|
\end{matrix}
|
|
\right),
|
|
b = \left(
|
|
\begin{matrix}
|
|
b_1 \\
|
|
b_2 \\
|
|
\vdots \\
|
|
b_n
|
|
\end{matrix}
|
|
\right)$$
|
|
|
|
</div>
|
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|
|
### Eigenschaften
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|
- Gleich viele gesuchte Variablen $x_n$ wie Gleichungen $n$. Folglich:
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- Die Matrix $A$ ist eine quadratische Matrix mit Dimensionen $n \times n$
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|
- $A$ ist invertierbar
|
|
- $A$ hat eine Determinante $\det(A)$
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|
### Dreiecks-Matrizen
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<div class="letters">
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***$L$: Untere Dreiecksmatrix***
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Eine Matrix, die in der oberen rechten Ecke nur den Wert $0$ und auf der Diagonale nur den Wert $1$ hat. Eine Untere Dreiecksmatrix hat also folgende Form:
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$$L = \left(
|
|
\begin{matrix}
|
|
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
l_{21} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
l_{31} & l_{32} & 1 & \ddots & 0 \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
|
|
l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn - 1} & 1
|
|
\end{matrix}
|
|
\right)$$
|
|
|
|
***$R$: Obere Dreiecksmatrix***
|
|
|
|
Eine Matrix, die unten links von der Diagonale nur den Wert $0$ beinhaltet. Eine Obere Dreiecksmatrix hat dementsprechend folgende Form:
|
|
|
|
$$R = \left(
|
|
\begin{matrix}
|
|
r_{11} & r_{12} & r_{13} & \cdots & r_{1n} \\
|
|
0 & r_{22} & r_{23} & \cdots & r_{2n} \\
|
|
0 & 0 & r_{33} & \cdots & r_{3n} \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
|
|
0 & 0 & \cdots & 0 & r_{nn}
|
|
\end{matrix}
|
|
\right)$$
|
|
|
|
</div>
|
|
|
|
***Code-Beispiele:***
|
|
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_Umwandlung in $R$-Matrix:_
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```py
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for i in range(n):
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if A[i, i] == 0:
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index = -1
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|
for j in range(i + 1, n):
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|
if A[j, i] > 0:
|
|
index = j
|
|
if index == -1:
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raise Exception("Invalid Matrix")
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else:
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# Swap lines
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A[[i, index]] = A[[index, i]]
|
|
for j in range(i + 1, n):
|
|
factor = A[j, i] / A[i, i]
|
|
A[j] = A[j] - (factor * A[i])
|
|
```
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### Der Gauss-Algorithmus
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Der Gauss-Algorithmus basiert darauf, dass ein lineares Gleichungssystem leicht lösbar ist, falls $A$ eine obere Dreiecksmatrix ist. $A$ muss also hierfür die Form einer oberen Dreiecksmatrix $R$ haben.
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<div class="formula">
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***Gauss-Algorithmus:***
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$$x_i = \frac{b_i - \sum_{j = i + 1}^n{a_{ij} \cdot x_j}}{a_{ii}}, i = n, n - 1, \dots, 1$$
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</div>
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Um den Gauss-Algorithmus anzuwenden, muss die Matrix $A$ erst in eine $R$-Matrix umgewandelt werden. Dies funktioniert wie folgt:
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1. Mit $i$ von $1$ bis $n$
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2. Falls $a_{ii}$ den Wert $0$ hat:
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1. Mit $j$ von $i + 1$ bis $n$
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2. Prüfen, ob $a_{ji}$ einen höheren Wert als $0$ hat
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- Falls Zeile gefunden wurde:
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- $a_{i}$ mit $a_{j}$ tauschen
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- $b_{i}$ mit $b_{j}$ tauschen
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- Sonst beenden: ungültige Matrix
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3. Mit $j$ von $i + 1$ bis $n$
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1. $a_k = a_k - \frac{a_{ki}}{a_{ii}} \cdot a_i$
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2. $b_k = b_k - \frac{a_{ki}}{a_{ii}} \cdot b_i$
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***Code-Beispiel:***
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```py
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from numpy import array, zeros
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def gaussMethod(A, b):
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A = array(A)
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n = A.shape[0]
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A = A.reshape((n, n))
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b = array(b).reshape((n))
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result = zeros(n)
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# Convert to R-Matrix
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for i in range(n):
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maxIndex = i
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for j in range(i + 1, n):
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if A[j, i] > A[maxIndex, i]:
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maxIndex = j
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# Swap lines
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A[[i, maxIndex]] = A[[maxIndex, i]]
|
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b[[i, maxIndex]] = b[[maxIndex, i]]
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for j in range(i + 1, n):
|
|
factor = A[j, i] / A[i, i]
|
|
A[j] = A[j] - (factor * A[i])
|
|
b[j] = b[j] - (factor * b[i])
|
|
# Calculate result
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for index in range(n, 0, -1):
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|
i = index - 1
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value = b[i]
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|
for j in range(i, n):
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value = value - A[i, j] * result[j]
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|
result[i] = value / A[i, i]
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|
return result.reshape((n, 1))
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```
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### Fehlerfortpflanzung und Pivotisierung
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- Da beim Umwandeln einer Matrix $A$ in die $R$-Form Zeilen in jedem Schritt mit dem Faktor $\lambda = \frac{a_{ji}}{a_{ii}}$ multipliziert werden, vergrössert sich der Schritt immer um $|\lambda|$
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- $\lambda$ kann klein gehalten werden, indem Zeilen der Grösse nach sortiert werden
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- In den Code-Beispielen ist dies bereits berücksichtigt
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### Determinanten-Bestimmung
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Die Determinante einer Matrix $A$ lässt sich einfach berechnen, sobald sie in die $R$-Form gebracht wurde mit folgender Formel:
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<div class="formula">
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Determinanten-Bestimmung mit Matrix $\tilde{A}$ (die Matrix $A$ in der $R$-Form):
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$$\det(A) =
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(-1)^l \cdot \det(\tilde{A}) =
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(-1)^l \cdot \prod_{i = 1}^n{\tilde{a_{ii}}}$$
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</div>
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***Code-Beispiel:***
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```py
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from numpy import array
|
|
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def det(A):
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|
l = 0
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n = A.shape[0]
|
|
A = A.reshape((n, n))
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|
# Convert to R-Matrix
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|
for i in range(n):
|
|
maxIndex = i
|
|
for j in range(i + 1, n):
|
|
if A[j, i] > A[maxIndex, i]:
|
|
maxIndex = j
|
|
# Swap lines
|
|
A[[i, maxIndex]] = A[[maxIndex, i]]
|
|
l = l + 1
|
|
for j in range(i + 1, n):
|
|
factor = A[j, i] / A[i, i]
|
|
A[j] = A[j] - (factor * A[i])
|
|
|
|
result = 1
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|
for i in range(n):
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|
result = result * A[i, i]
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return (-1 ** l) * result
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```
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### Die $LR$-Zerlegung
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In der $LR$-Zerlegung wird die Matrix $A$ in die Matrizen $L$ und $R$ aufgeteilt, sodass $A = L \cdot R$ gilt.
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Alternative Namen dieses Vorgangs sind ***$LR$-Faktorisierung*** und $LU$-decomposition.
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<div class="formula">
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Für in $L$ und $R$ zerlegte Matrizen gilt:
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$$A \cdot x = b$$
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und
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$$A \cdot x = L \cdot R \cdot x = L \cdot y = b$$
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|
Aufwand: Berechnung der $LR$-Zerlegung mit Gauss-Algorithmus benötigt ca. $\frac{2}{3}n^3$ Punktoperationen.
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</div>
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Falls Zeilenvertauschungen stattfinden, entsteht bei der $LR$-Zerlegung eine zusätzliche Permutations-Matrix $P$.
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<div class="formula">
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Für $L$ und $R$ zerlegte Matrizen mit Permutation $P$ gilt:
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$$P \cdot A = L \cdot R$$
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$$L \cdot y = P \cdot b$$
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$$R \cdot x = y$$
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</div>
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Das Verfahren für die $LR$-Zerlegung ist identisch zu den Schritten bei der Umwandlung in eine $R$-Matrix. Jedoch wird jeweils der Wert $l_{ji}$ in der (zu Beginn) leeren Matrix $L$ mit dem im aktuellen Eliminationsschritt gesetzt. Zudem muss bei Vertauschungen die Permutations-Matrix $P$ entsprechend angepasst werden:
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***Code-Beispiel:***
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```py
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from numpy import array, identity, zeros
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def decomposite(A):
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l = 0
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n = A.shape[0]
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R = A.reshape((n, n))
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L = zeros((n, n))
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P = identity((n, n))
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# Convert to LR-Matrix
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for i in range(n):
|
|
maxIndex = i
|
|
for j in range(i + 1, n):
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|
if A[j, i] > A[maxIndex, i]:
|
|
maxIndex = j
|
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# Swap lines
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Pn = identity((n, n))
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|
A[[i, maxIndex]] = A[[maxIndex, i]]
|
|
Pn[[i, maxIndex]] = Pn[[maxIndex, i]]
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|
P = P * Pn
|
|
for j in range(i + 1, n):
|
|
factor = R[j, i] / R[i, i]
|
|
L[j, i] = factor
|
|
R[j] = R[j] - (factor * R[i])
|
|
|
|
result = 1
|
|
for i in range(n):
|
|
result = result * R[i, i]
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return [L, R, P]
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```
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Wenn die $LR$-Zerlegung, wie in diesem Code, Zeilenaustausch und das Berechnen von $P$ involviert, spricht man von einer $LR$-Zerlegung mit **Spaltenmaximum-Strategie**.
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***Vorgang:***
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1. Gemäss vorhergehender Beschreibung und Code-Beispiel die Matrizen $L$ und $R$ berechnen
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2. Mit Hilfe des Gauss-Algorithmus $L \cdot y = P \cdot b$ nach $y$ auflösen
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3. Mit Hilfe des Gauss-Algorithmus $R \cdot x = y$ nach $x$ auflösen
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### $QR$-Zerlegung
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- Die Matrix $A$ wird in eine orthogonale Matrix $Q$ und eine obere Dreiecksmatrix $R$ zerlegt.
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- Orthogonal-Matrizen beschreiben Drehungen, Spiegelungen oder Kombinationen daraus.
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- Eine $QR$-Zerlegung erfordert ca. $\frac{5}{3}n^3$ Punktoperationen - ca. doppelt so viel wie die $LR$-Zerlegung.
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<div class="formula">
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***Orthogonal-Matrix:***
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Eine Matrix $Q$ ist orthogonal, wenn folgendes gilt:
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$$Q^T \cdot Q = I_n$$
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|
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|
($x^T$ steht hierbei für eine **T**ransformation)
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</div>
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#### Housholder-Matrizen
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Im Rahmen der Berechnung der Matrizen $Q$ und $R$ werden sogenannte "Housholder-Matrizen" berechnet.
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<div class="formula">
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***Housholder-Matrizen:***
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Sei $u$ ein Vektor mit beliebig vielen Dimensionen, für den gilt:
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$$|u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2} = 1$$
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Die Householder-Matrix hat folgende Eigenschaft:
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$$H := I_n - 2 \cdot u \cdot u^T$$
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Für Housholder-Matrizen gilt zudem folgendes:
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$$H = H^T = H^{-1}$$
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und
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$$H \cdot H = I_n$$
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</div>
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***Berechnung einer Housholder-Matrix***
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Beispiel der Berechnung einer Housholder-Matrix zur ersten Spalte der Matrix $A$.
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> Für die Berechnung wird ein Einheitsvektor $e$ benötigt, welcher genauso viele Werte hat, wie die Matrix Dimensionen. Ein Einheitsvektor hat im ersten Feld den Wert $1$ und in allen anderen Feldern der Wert $0$.
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|
>
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|
> Für eine Matrix $A$ mit der Dimension $n = 3$ lautet der Einheitsvektor $e$ also wie folgt:
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> $$e = \left(\begin{matrix}
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> 1 \\
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> 0 \\
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> 0
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> \end{matrix}\right)
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1. Vektor $v$ bestimmen
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$$v = a_1 + sign(a_{11}) \cdot |a_1| \cdot e$$
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2. Vektor normieren:
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$$u = \frac{1}{|v|} \cdot v =
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\frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 \\
|
|
2 \\
|
|
3
|
|
\end{matrix}\right) =
|
|
\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 \\
|
|
2 \\
|
|
3
|
|
\end{matrix}\right)$$
|
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2. Die Housholder-Matrix $H = I_n - 2 \cdot u \cdot u^T$ berechnen.
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$$H =
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1
|
|
\end{matrix}\right) -
|
|
2 \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 \\
|
|
2 \\
|
|
3
|
|
\end{matrix}\right) \cdot
|
|
\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 & 2 & 3
|
|
\end{matrix}\right) \\
|
|
H =
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
|
0 & 0 & 1
|
|
\end{matrix}\right) -
|
|
2 \cdot \frac{1}{14} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
1 & 2 & 3 \\
|
|
2 & 4 & 6 \\
|
|
3 & 6 & 9
|
|
\end{matrix}\right) =
|
|
-\frac{1}{7} \cdot
|
|
\left(\begin{matrix}
|
|
-6 & 2 & 3 \\
|
|
2 & -3 & 6 \\
|
|
3 & 6 & 2
|
|
\end{matrix}\right)$$
|
|
|
|
<div class="letters">
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- $H$: Housholder-Matrix
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- $I$: Identitäts-Matrix
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- $n$: Anzahl Dimensionen der Matrix
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</div>
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#### Vorgang
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Im Rahmen des Vorgangs entspricht $A_1$ der Matrix $A$.
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Die $QR$-Zerlegung kann folgendermassen durchgeführt werden:
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1. $R = A$
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2. $Q = I_n$
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3. Für $i$ von $1$ bis $n - 1$
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1. Gemäss vorheriger Anleitung Householder-Matrix $H_i$ für den Vektor `A[i:,i:i + 1]` berechnen (`i`-te Spalte ab Zeile `i`)
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2. Householder-Matrix um Identitäts-Matrix erweitern. Beispiel:
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3. Erweiterte Householder-Matrix als $Q_i$ speichern
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4. $R = Q_i \cdot R$
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5. $Q = Q \cdot Q_i^T$
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6. Die Gleichung $R \cdot x = Q^T \cdot b$ mit Gauss-Algorithmus lösen
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***Code-Beispiel:***
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```py
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from numpy import array, identity, sign, sqrt, square, sum, zeros
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|
|
def qrSolve(A, b):
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A = array(A)
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n = A.shape[0]
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R = A.reshape((n, n))
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Q = identity(n)
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for i in range(n - 1):
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I = identity(n - i)
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Qi = identity(n)
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e = zeros((n - i, 1))
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|
e[0][0] = 1
|
|
a = R[i:,i:i + 1]
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v = a + sign(a[0]) * sqrt(sum(square(a))) * e
|
|
u = (1 / sqrt(sum(square(v)))) * v
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|
H = I - 2 * u @ u.T
|
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Qi[i:,i:] = H
|
|
R = Qi @ R
|
|
Q = Q @ Qi.T
|
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R[i + 1:,i:i + 1] = zeros((n - (i + 1), 1))
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|
return linalg.solve(R, Q.T @ b)
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|
```
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### Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen
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Ähnlich wie herkömmliche Gleichungen, können Gleichungssysteme nicht mit eindeutiger Genauigkeit berechnet werden. Es entsteht ein Fehler.
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<div class="formula">
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|
***Fehler bei linearen Gleichungssystemen:***
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$$A \cdot \tilde{x} = \tilde{b} = b + \Delta b$$
|
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|
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$$\Delta x = \tilde{x} - x$$
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|
|
|
</div>
|
|
<div class="letters">
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|
- $A$: Matrix eines linearen Gleichungssystems
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|
- $b$: Gewünschtes Ergebnis des Gleichungssystems
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|
- $\tilde{b}$: Ergebnis des Gleichungssystems unter Verwendung von $\tilde{x}$ in $A \cdot \tilde{x}$
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|
- $\Delta b$: Residuum: Die Differenz von $b$ und $\tilde{b}$
|
|
- $x$: Genaue Lösung
|
|
- $\tilde{x}$: Näherungslösung von $x$
|
|
- $\Delta x$: Der Fehler der Näherungslösung $\tilde{x}$
|
|
|
|
</div>
|
|
|
|
#### Vektor- und Matrixnormen
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|
|
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<div class="formula">
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|
***Vektornormen:***
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|
$1$-Norm, Summen-Norm:
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$$||x||_1 = \sum_{i = 1}^n|x_i|$$
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|
|
|
$2$-Norm, euklidische Norm:
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|
|
|
$$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}$$
|
|
|
|
$\infin$-Norm, Maximum-Norm:
|
|
|
|
$$||x||_\infin = \max_{i = 1, \dots, n}|x_i|$$
|
|
|
|
</div>
|
|
|
|
<div class="formula">
|
|
|
|
***Matrixnormen:***
|
|
|
|
$1$-Norm, Spaltensummen-Norm:
|
|
|
|
$$||A||_1 = \max_{j=1, \dots, n}\sum_{i = 1}^n|a_{ij}|$$
|
|
|
|
$2$-Norm, Spektral-Norm:
|
|
|
|
$$||A||_2 = \sqrt{\rho(A^T \cdot A)}$$
|
|
|
|
$\infin$-Norm, Zeilensummen-Norm:
|
|
|
|
$$||A||_\infin = \max_{i = 1, \dots, n}\sum_{j = 1}^n|a_{ij}|$$
|
|
|
|
</div>
|
|
|
|
Folgendes gilt für die Abschätzung von Vektoren und Matrizen:
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|
|
|
<div class="formula">
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|
|
|
***Fehlerabschätzung von Vektoren und Matrizen:***
|
|
|
|
Für die Gleichung $A \cdot x = b$ und die dazugehörige Approximation $A \cdot \tilde{x} = \tilde{b}$ gilt:
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|
|
|
Absoluter Fehler:
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|
|
|
$$||x - \tilde{x}|| \le ||A^{-1}|| \cdot ||b - \tilde{b}||$$
|
|
|
|
Falls $||b|| \not = 0$ gilt zudem:
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|
|
|
Relativer Fehler:
|
|
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|
$$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le ||A|| \cdot ||A^{-1}|| \cdot \frac{||b - \tilde{b}||}{||b||}$$
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|
|
|
</div>
|
|
|
|
<div class="formula">
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|
***Konditionszahl:***
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Die Konditionszahl $cond(A)$ einer Matrix $A$ berechnet sich wie folgt:
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$$cond(A) = ||A|| \cdot ||A^{-1}||$$
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|
Eine hohe Konditionszahl $cond(A)$ bedeutet, dass kleine Fehler im Vektor $b$ zu grossen Fehlern im Ergebnis $x$ führen können. In diesem Fall ist eine Matrix schlecht konditioniert.
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|
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</div>
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|
|
|
<div class="formula">
|
|
|
|
***Fehlerabschätzung von Matrizen mit Fehlern:***
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|
|
Sollte auch die Matrix $A$ fehlerhaft sein (fehlerhafte Matrix $\tilde{A}$), gilt der nachstehende Satz unter folgender Bedingung:
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$$cond(A) \cdot \frac{||A - \tilde{A}||}{||A||} < 1$$
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|
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|
dann gilt:
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|
Relativer Fehler:
|
|
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|
$$\frac{||x - \tilde{x}||}{||x||} \le
|
|
\frac{cond(A)}{1 - cond(A) \cdot \frac{||A - \tilde{A}||}{||A||}} \cdot
|
|
\left(
|
|
\frac{||A - \tilde{A}||}{||A||} +
|
|
\frac{||b - \tilde{b}||}{||b||}
|
|
\right)$$
|
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|
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</div>
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|
### Aufwand-Abschätzung
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<div class="formula">
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***Kennzahlen:***
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Lösung Linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von...
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Gauss-Elimination:
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$$\frac{2}{3}n^3 + \frac{5}{2}n^2 - \frac{13}{6}n$$
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$LR$-Zerlegung:
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$$\frac{2}{3}n^3 + \frac{7}{2}n^2 + \frac{13}{6}n$$
|
|
|
|
$QR$-Zerlegung:
|
|
|
|
$$\frac{5}{3}n^3 + 4n^2 + \frac{7}{3}n - 7$$
|
|
|
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</div>
|
|
|
|
<div class="formula">
|
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|
***Ordnung $O(n)$***
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Die Ordnung $O(n)$ der zuvor genannten Verfahren entspricht der höchsten Potenz von $n$, welche in der Formel zur Berechnung des Aufwands vorkommt.
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Das bedeutet also folgendes:
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Ordnung von Gauss-Elimination, $LR$-Zerlegung und $QR$-Zerlegung:
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$$O(n^3)$$
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</div>
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## Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen
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### $LDR$-Zerlegung
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Für die $LDR$-Zerlegung wird die Matrix $A$ in drei Matrizen $L$, $D$ und $R$ aufgeteilt, wobei $L$ eine untere Dreiecksmatrix, $D$ eine Diagonalmatrix und $R$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Das bedeutet:
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$$A = L + D + R$$
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Mit
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$$L = \left(
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\begin{matrix}
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0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
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a_{21} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
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|
a_{31} & a_{32} & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
|
|
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn - 1} & 0
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|
\end{matrix}
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|
\right)$$
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$$D = \left(
|
|
\begin{matrix}
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a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
|
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0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
|
|
0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
|
|
0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn}
|
|
\end{matrix}
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|
\right)$$
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$$R = \left(
|
|
\begin{matrix}
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0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
|
|
0 & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
|
|
0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\
|
|
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
|
|
\end{matrix}
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\right)$$
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> ***Wichtig:***
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> Hierbei handelt es sich nicht um $L$ und $R$ aus der $LR$-Zerlegung!
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### Jacobi-Verfahren
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Das Jacobi-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, welches nach jeder Iteration näher mit der tatsächlichen Lösung $x$ konvergiert.
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Das Jacobi-Verfahren ist auch bekannt als **Gesamtschrittverfahren**.
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<div class="formula">
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***Jacobi-Verfahren:***
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Zunächst beginnt man mit $x^{(0)}$ als ein Vektor, der nur aus $0$en besteht.
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$$x^{(k + 1)} = -D^{-1} \cdot (L + R) \cdot x^{(k)} + D^{-1} \cdot b$$
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Für die Berechnung einzelner Elemente des Vektors $x^{(k + 1)}$ gilt:
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Für $i$ von $1$ bis $n$:
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$$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot
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\left(
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b_i - \sum_{j = 1,j \not = i}^n a_{ij} \cdot x^{(k)}_j
|
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\right)$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $x^{(k)}$: Die Annäherung an $x$ nach der $k$-ten Iteration
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</div>
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### Gauss-Seidel-Verfahren
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Das Gauss-Seidel-Verfahren konvergiert schneller als das Jacobi-Verfahren.
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Da für die Berechnung des Jacobi-Verfahrens für die Berechnung von $x_2$ auch Werte von $x_1$ verwendet werden, können die Werte direkt aus der aktuellen Iteration $k$ wiederverwendet werden, um den Vorgang schneller konvergieren zu lassen.
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Das Gauss-Seidel-Verfahren wird auch **Einzelschrittverfahren** genannt.
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<div class="formula">
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***Gauss-Seidel-Verfahren:***
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$$x^{(k+1)} = -(D + L)^{-1} \cdot R \cdot x^{(k)} + (D + L)^{-1} \cdot b$$
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Für die Berechnung einzelner Vektor-Komponente wiederum:
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Für $i$ von $1$ bis $n$:
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$$x^{(k + 1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \cdot
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\left(
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|
b_i - \sum_{j = 1}^{i - 1} a_{ij} \cdot x^{k + 1}_j -
|
|
\sum_{j = i + 1}^n a_{ij} \cdot x^{(k)}_j
|
|
\right)$$
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</div>
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### Konvergenz
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<div class="formula">
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***Anziehung/Abstossung:***
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Gegeben sei eine Fixpunkt-Iteration:
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$$x^{(n + 1)} = B \cdot x^{(n)} + c =: F(x^{(n)})$$
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Beispiele für solche Fixpunkt-Iterationen sind das Jacobi- oder das Gauss-Seidel-Verfahren.
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Falls folgendes gegeben ist: $\tilde{x} = B \cdot \tilde{x} + c = F(\tilde{x})$, dann gilt:
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- $\tilde{x}$ ist ein anziehender Fixpunkt, falls $||B|| < 1$
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- $\tilde{x}$ ist ein abstossender Fixpunkt, falls $||B|| > 1$
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</div>
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<div class="formula">
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***Abschätzungen:***
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Gegeben sei eine Fixpunkt-Iteration:
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$$x^{(n + 1)} = B \cdot x^{(n)} + c =: F(x^{(n)})$$
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Für Fixpunkt-Iterationen bei denen $x^{(k)}$ gegen $\tilde{x}$ konvergiert (gemäss oben stehender Formel "Anziehung/Abstossung"), gelten folgende Abschätzungen:
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a-priori Abschätzung:
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$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
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\frac{||B||^n}{1 - ||B||} \cdot
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||x^{(1)} - x^{(0)}||$$
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|
a-posteriori Abschätzung:
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|
$$||x^{(n)} - \tilde{x}|| \le
|
|
\frac{||B||}{1 - ||B||} \cdot
|
|
||x^{(n)} - x^{(n - 1)}||$$
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</div>
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Die Matrix $B$ hat hierbei je nach verwendetem Verfahren einen anderen Wert:
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<div class="formula">
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***Matrix $B$ für Abschätzung und Konvergenz***
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- Für das Jacobi-Verfahren:
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$$B = -D^{-1} \cdot (L + R)$$
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- Für das Gauss-Seidel-Verfahren
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$$B = -(D + L)^{-1} \cdot R$$
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</div>
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<div class="formula">
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***Diagonal-Dominanz:***
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Die Matrix $A$ ist diagonal-dominant, falls eines der folgenden Kriterien zutrifft:
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- Zeilensummen-Kriterium:
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- Für alle $i = 1, \dots, n$ gilt:
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$$|a_{ii}| > \sum_{j = 1, i \not = j}^n{|a_{ij}|}$$
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|
- Spaltensummen-Kriterium:
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|
- Für alle $i = 1, \dots, n$ gilt:
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|
$$|a_{jj}| > \sum_{i = 1, i \not = j}{|a_{ij}|}$$
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Für alle Matrizen, die diagonal-dominant sind gilt, dass sie für das Jacobi- und das Gauss-Seidel-Verfahren konvergieren.
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</div>
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## Komplexe Zahlen
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Der Bereich der Komplexen Zahlen dient dazu, Werte abzubilden, die es eigentlich nicht geben kann.
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Beispiel einer komplexen Zahl:
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$$x^2 = -1$$
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Es gibt keinen Wert, der $-1$ ergibt, wenn er quadriert wird. Es handelt sich also um eine komplexe Zahl.
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Dafür wird die imaginäre Einheit $i$ eingeführt mit folgender Eigenschaft:
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$$i^2 = -1$$
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Für diese Definition wäre das Resultat von $x^2= -1$ also $x = \plusmn{i}$
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In Python und in der Elektrotechnik wird der Buchstabe $j$ verwendet.
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Komplexe Zahlen $z$ mit $z = x + i \cdot y$ können nicht auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden.
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Sie können in einem Koordinaten-System eingezeichnet werden, wobei $x$ der reale und $y$ der imaginäre Anteil sind:
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Dieses Koordinaten-System nennt sich auch **Gaussche Zahlenebene**.
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<div class="formula">
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***Komplexe Zahlen:***
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Imaginäre Einheit $i$:
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$$i^2 = -1$$
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Komplexe Zahlen $z$:
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$$z = x + i \cdot y$$
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**Konjugierte** komplexe Zahl:
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$$z^* = x - i \cdot y$$
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Betrag von $z$:
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$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
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Menge aller komplexen Zahlen $\mathbb{C}$:
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$$\mathbb{C} = \{ z | z = x + i \cdot y \text{ mit } x, y \in \mathbb{R}\}$$
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</div>
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Veranschaulichung einer konjugierten komplexen Zahl $z^*$:
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<div class="letters">
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- $\mathbb{C}$: Menge aller komplexen Zahlen
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- $x$: Realteil einer komplexen Zahl
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- $y$: Imaginärteil einer komplexen Zahl
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- $z$: Komplexe Zahl
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</div>
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<div class="formula">
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***Darstellungsformen:***
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Es gibt diverse Darstellungsformen für komplexe Zahlen:
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- Normalform (auch "algebraische" oder "kartesische" Form):
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$$z = x + i \cdot y$$
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- Trigonometrische Form:
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$$z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi))$$
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- Exponential-Form:
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$$z = re^{i \cdot \varphi}$$
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</div>
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Beispiel einer komplexen Zahl $z$ in der Normalform und der Trigonometrischen Form:
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<div class="letters">
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- $r$: Die Länge des Vektors einer komplexen Zahl $z$ ($r = |z|$)
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- $\varphi$: Der Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor der komplexen Zahl $z$
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</div>
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### Rechen-Regeln
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<div class="formula">
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***Rechen-Regeln für komplexe Zahlen:***
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Addition:
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$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i \cdot (y_1 + y_2)$$
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Subtraktion:
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$$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i \cdot (y_1 - y_2)$$
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Multiplikation:
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$$z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) +
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i \cdot(x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_2)$$
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Division:
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$$\begin{aligned}
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\frac{z_1}{z_2} &=
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\frac{z_1 \cdot z_2^*}{z_2 \cdot z_2^*} =
|
|
\frac{(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)}{(x_2 + i \cdot y_2) \cdot (x_2 - i \cdot y_2)} \\
|
|
&= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2) + i \cdot (y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} \\
|
|
&= \frac{(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2} + i \cdot \frac{(y_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot y_2)}{x_2^2 + y_2^2}
|
|
\end{aligned}$$
|
|
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</div>
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Visualisierung von Addition und Subtraktion zwei komplexer Zahlen $z_1$ und $z_2$:
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<div class="formula">
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***Potenzieren in der Polarform:***
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Für komplexe Zahlen in der Normalform gilt folgendes:
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- Sei $n \in \mathbb{N}$:
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$$z^n = (r \cdot e^{i \cdot \varphi})^n = r^n \cdot e^{i \cdot n \cdot \varphi} =
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|
r^n \cdot (\cos(n \cdot \varphi) + i \cdot \sin(n \cdot \varphi))$$
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|
|
|
</div>
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<div class="formula">
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|
***Fundamentalsatz der Algebra:***
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Eine algebraische Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Koeffizienten und Variablen $a_i, z \in \mathbb{C}$
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$$a_n \cdot z^n + a_{n - 1} \cdot z^{n - 1} + \dots + a_1 \cdot z + a_0 = 0$$
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besitzt in der Menge $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen genau $n$ Lösungen.
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</div>
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<div class="formula">
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***Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl:***
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Die Gleichung für das Ziehen einer Wurzel $n$ der komplexen Zahl $a$ lautet: $z^n = a$.
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Für die Lösung dieser Gleichung existieren genau $n$ verschiedene Lösungen in der Menge $\mathbb{C}$:
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$$z_k = r \cdot (\cos(\varphi_k + i \cdot \sin(\varphi_k)) = r \dot e^{i \cdot \varphi_k}$$
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für $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$:
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mit
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$$r = \sqrt[n]{r_0}$$
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$$\varphi_k = \frac{\varphi + k \cdot 2 \cdot \pi}{n}$$
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Die Bildpunkte der Ergebnisse liegen in der komplexen Zahlenebene auf einem Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius $r = \sqrt[n]{r_0}$ und bilden die Ecken eines regelmässigen $n$-Ecks.
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</div>
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Visualisierung des Ziehens der $6$-ten Wurzel einer komplexen Zahl $z$:
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## Eigenwerte und Eigenvektoren
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Für Matrizen $A$ gibt es Vektoren $x$ und Faktoren $\lambda$, für die gilt:
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$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
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- $x$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenvektoren** von $A$
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|
- $\lambda$-Werte, für die das zutrifft, nennen sich **Eigenwerte** von $A$
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<div class="formula">
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|
***Eigenwerte und Eigenvektoren:***
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Falls für eine gegebene Matrix $A$, einen beliebigen Vektor $x \not = 0$ und einen beliebigen Wert $\lambda$ folgendes zutrifft:
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$$A \cdot x = \lambda \cdot x$$
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|
- $x$ ist ein **Eigenvektor** von $A$
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|
- $\lambda$ ist ein **Eigenwert** von $A$
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</div>
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In manchen Fällen müssen für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren komplexe Vektoren $z$ normiert werden.
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Dies funktioniert folgendermassen:
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<div class="formula">
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***Normierung komplexer Vektoren:***
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$$x = z \cdot \frac{1}{|z|} =
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\left(
|
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\begin{matrix}
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z_1 \\
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|
\vdots \\
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|
z_n
|
|
\end{matrix}
|
|
\right) \cdot
|
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\frac{1}{\sqrt{z_1 \cdot z_1^* + \dots + z_n \cdot z_n^*}}$$
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</div>
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<div class="letters">
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- $z$: Komplexer Vektor
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- $z_n$: $n$-te Komponente des Vektors $z$
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|
- $x$: Normierter Vektor $z$
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</div>
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<div class="formula">
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|
***Eigenschaften von Eigenwerten:***
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$\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$, fals folgendes gilt:
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$$det(A - \lambda \cdot I_n) = 0$$
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</div>
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<div class="formula">
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|
***Eigenwerten und die Spur & Determinante von Matrizen:***
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- Die Determinante einer Matrix $A$ ist das Produkt aller Eigenwerte.
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- Die Spur (trace) - also die Summe aller Diagonalelemente - ist die Summe aller Eigenwerte
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$$det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \dots \lambda_n$$
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|
$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n$$
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|
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|
- Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist der Kehrwert $\frac{1}{\lambda}$ ein Eigenwert der inversen Matrix $A^{-1}$
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</div>
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|
<div class="formula">
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|
- Die Vielfachheit, mit der $\lambda$ in der Determinante auftritt nennt sich **algebraische Vielfachheit** von $\lambda$
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|
- Das **Spektrum** $\sigma(A)$ ist die Menge aller Eigenwerte von $A$
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</div>
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|
<div class="formula">
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|
***Eigenwerte in speziellen Matrizen:***
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Für Diagonal-Matrizen und Dreiecks-Matrizen gilt:
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|
- Die Eigenwerte entsprechen den Diagonal-Elementen.
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</div>
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<div class="formula">
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|
***Eigenraum:***
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Als Eigenraum bezeichnet man eine beliebige Anzahl Vektoren, die alle für dein Eigenwert $\lambda$ gelten.
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Indem man diese Vektoren kombiniert, lassen sich beliebig viele neue Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ bestimmen.
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Für den Eigenwert $\lambda$ von $A$ bilden Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ und der Nullvektor $0$ einen **Eigenraum** der Form $\mathbb{C}^n$
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- Die Dimension des Eigenraumes von $\lambda$ bestimmt sich durch folgende Formel:
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$$n - Rg(A - \lambda \cdot I_n)$$
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|
Das Ergebnis nennt sich **geometrische Vielfachheit** und entspricht der Anzahl unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$.
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|
- Die geometrische Vielfachheit ist kleiner oder gleich der **algebraischen Vielfachheit**
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</div>
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|
<div class="letters">
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- $A$: Eine beliebige Matrix
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- $x$: Eigenvektor einer Matrix $A$
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|
- $\lambda$: Eigenwert einer Matrix $A$
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</div>
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### Numerische Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren
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#### Theorie
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<div class="formula">
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***Ähnliche Matrizen:***
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Eine Matrix $B$ ist zu einer Matrix $A$ ähnlich, wenn für eine beliebige Matrix $T$ gilt:
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$$B = T^{-1} \cdot A \cdot T$$
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***Diagonalisierbarkeit:***
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Eine Matrix $A$ ist _diagonalisierbar_, wenn für eine Matrix $T$ das Ergebnis $D$ von
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$$D = T^{-1} \cdot A \cdot T$$
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|
eine Diagonalmatrix ist.
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</div>
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|
<div class="letters">
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- $A$: Beliebige Matrix
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|
- $B$: Ergebnis einer Transformation der Matrix $A$
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|
- $D$: Ergebnis einer Transformation der Matrix $A$, welche eine Diagonalmatrix ist
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|
- $T$: Beliebige Transformations-Matrix
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|
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</div>
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<div class="formula">
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|
***Eigenwerte und Eigenvektoren ähnlicher/diagonalisierbarer Matrizen:***
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- Es seien $A$ und $B$ zueinander ähnliche Matrizen
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- $A$ und $B$ haben dieselben Eigenwerte inkl. deren algebraische Vielfachheit
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- Ist $x$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $B$, so ist $T \cdot x$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $A$
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- Wenn $A$ diagonalisierbar ist gilt zudem folgendes:
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- Für $D = T^{-1} \cdot A \cdot T$
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- Die $n$ Diagonal-Elemente von $D$ sind die Eigenwerte von $A$
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- Die $n$ linear unabhängigen Eigenvektoren von $A$ sind die Spalten des verwendeten $T$
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</div>
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#### $QR$-Verfahren
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Das $QR$-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix $A$.
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Der Vorgang ist dabei folgender:
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1. $A_0 = A$
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2. $P_0 = I_n$
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3. Für $i = 0, 1, 2, \dots, \infin$:
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|
1. $QR$-Zerlegung durchführen: $A_i = Q_i \cdot R_i$
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2. $A_{i + 1} = R_i \cdot Q_i$
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3. $P_{i + 1} = P_i \cdot Q_i$
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|
4. $P_i$ zurückgeben
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|
***Code-Beispiel:***
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|
```py
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|
from numpy import array, identity, sign, sqrt, square, sum, zeros
|
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def qr(A):
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A = array(A)
|
|
n = A.shape[0]
|
|
R = A.reshape((n, n))
|
|
Q = identity(n)
|
|
|
|
for i in range(n - 1):
|
|
I = identity(n - i)
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Qi = identity(n)
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e = zeros((n - i, 1))
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e[0][0] = 1
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a = R[i:,i:i + 1]
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v = a + sign(a[0]) * sqrt(sum(square(a))) * e
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u = (1 / sqrt(sum(square(v)))) * v
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H = I - 2 * u @ u.T
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Qi[i:,i:] = H
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R = Qi @ R
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Q = Q @ Qi.T
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R[i + 1:,i:i + 1] = zeros((n - (i + 1), 1))
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return [Q, R]
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def EV(A, iterations):
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A = array(A)
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n = A.shape[0]
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P = identity(n)
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for i in range(iterations):
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[Q, R] = qr(A)
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A = R @ Q
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P = P @ Q
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return [A, P]
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```
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### Vektor-Iteration
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Die Vektor-Iteration, auch **von-Mises-Iteration** genannt, erlaubt das Bestimmen des grössten Eigenwertes $\lambda$ einer diagonalisierbaren Matrix $A$.
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<div class="formula">
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***Spektral-Radius:***
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Der Spektral-Radius $\rho(A)$ definiert den höchsten Eigenwert der Matrix $A$:
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$$\rho(A) = \max\{|\lambda|\; | \; \lambda \text{ ist ein Eigenwert von }A \in \mathbb{R}^{n \times n}\}$$
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</div>
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<div class="formula">
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Sei $A$ eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ wobei $\lambda_1$ betragsmässig am höchsten ist:
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$$|\lambda_1| > |\lambda_2| \ge \dots \ge | \lambda_n|$$
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Der grösste Eigenwert $\lambda_1$ und der dazugehörige Eigenvektor $v$ lässt sich mit der Vektor-Iteration bestimmen.
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Zunächst muss ein beliebiger Startvektor $v_0 \in \mathbb{C}^n$ mit Länge $1$ gewählt werden.
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Als nächstes wird für $k = 0, \dots, \infin$ folgendes ausgeführt:
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$$v^{(k + 1)} = \frac{A \cdot v^{(k)}}{||A \cdot v^{(k)}||_2}$$
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$$\lambda^{(k + 1)} = \frac{(v^{(k)})^T \cdot A \cdot v^{(k)}}{(v^{(k)})^T \cdot v^{(k)}}$$
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</div>
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***Code-Beispiel:***
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```py
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from numpy import array, linalg
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def vectorIteration(A, v, iterations = 10):
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l = 0
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v = array(v)
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v = v.reshape(len(v), 1)
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for i in range(iterations):
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l = ((v.T @ A @ v) / (v.T @ v)).item()
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v = (A @ v) / (linalg.norm(A @ v, ord=2))
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print()
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print(f"k: {i + 1}")
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print(f"x: {v}")
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print(f"λ: {l}")
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return [v, l]
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```
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## Formelbuchstaben
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<div class="letters">
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- $\alpha$: Lipschitz-Konstante (siehe Fixpunktsatz)
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- $[a,b]$: Das Untersuchungs-Interval für den Banachschen Fixpunktsatz
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- $A$: Matrix eines linearen Gleichungssystems
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- $\tilde{A}$: Umgewandelte Version der Matrix $A$
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- $A^T$: Transformierte Matrix $A$
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- $b$: Das gewünschte Resultat eines linearen Gleichungssystems
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- $B$: Basis der Maschinenzahl
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- $e$: Exponent der Maschinenzahl
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- $H$: Housholder-Matrix (siehe $QR$-Zerlegung)
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- $I$: Identitäts-Matrix (Matrix, überall den Wert $0$ und auf der Diagonalen den Wert $1$ hat)
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- $i$: Imaginäre Einheit für die Darstellung komplexer Zahlen
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- $j$: Alternative Schreibweise für $i$ in Python und in der Elektrotechnik
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- $K$: Konditionszahl
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- $L$: Untere Dreiecksmatrix/Normierte Matrix
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- $m$: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
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- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
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- $q$: Konvergenz-Ordnung
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- $Q$: Orthogonal-Matrix in der $QR$-Zerlegung
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- $R$: Obere Dreiecksmatrix
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- $Rg(A)$: Der Rang der Matrix $A$ (Anzahl Zeilen $\not = 0$, die nach Gauss-Elimination übrig bleiben)
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- $T$: Transformations-Matrix
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- $x$: Darzustellender Wert
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- $x_n$: Die $n$-te Approximation von $x$
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- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
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- $x^{(k)}$: Die Annäherung von $x$ in der $k$-ten Iteration
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- $\lambda$: Eigenwert einer Matrix
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- $\rho(A)$: Spektral-Radius der Matrix $A$ (siehe Vektor-Iteration)
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</div>
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