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Manuel Thalmann 2023-01-05 14:14:18 +01:00
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50
Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md
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@ -1,3 +1,19 @@
<style>
.formula, .letters {
color: black;
padding: 0.5rem;
border: solid black 2px;
}
.formula {
background: lightblue;
}
.letters {
background: lightyellow;
}
</style>
# Höhere Mathematik # Höhere Mathematik
## Inhalt ## Inhalt
- [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik) - [Höhere Mathematik](#höhere-mathematik)
@ -64,33 +80,51 @@ Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn
Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt. Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.
### Grenzen von Maschinenzahlen ### Grenzen von Maschinenzahlen
<div class="formula">
$x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$ $x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}$
$x_min = B^{e_{min} - 1}$ $x_min = B^{e_{min} - 1}$
</div>
### Datentypen gem. IEEE ### Datentypen gem. IEEE
`float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$ `float` oder `single`: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse $m$, 8 Bit für Exponent $e$
`double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$ `double`: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse $m$, 11 Bit für Exponent $e$
### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit ### Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
<div class="formula">
Absoluter Fehler: Absoluter Fehler:
$$|\tilde{x} - x|$$ $$|\tilde{x} - x|$$
</div>
<div class="formula">
Relativer Fehler: Relativer Fehler:
$$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$ $$\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$$
</div>
<div class="formula">
Maximaler **absoluter** Rundungsfehler: Maximaler **absoluter** Rundungsfehler:
$$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$ $$\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}$$
</div>
<div class="formula">
**Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler: **Maschinengenauigkeit** oder maximaler **relativer** Rundungsfehler:
$$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$ $$\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}$$
</div>
<div class="formula">
Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung: Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:
Relativ: Relativ:
@ -101,6 +135,9 @@ Absolut:
$$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$ $$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
</div>
<div class="letters">
- $B$: Die Basis der Maschinenzahl - $B$: Die Basis der Maschinenzahl
- $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$) - $e$: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: $0$)
- $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$ - $n$: Die Anzahl Stellen der Mantisse $m$
@ -108,6 +145,8 @@ $$|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|$$
- $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$ - $\tilde{x}$: Die Annäherung/Approximation an $x$
- $f$: Auszuwertende Funktion - $f$: Auszuwertende Funktion
</div>
### Konditionszahl ### Konditionszahl
Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist. Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.
@ -115,9 +154,17 @@ Eine niedrige Konditionszahl ($K \le 1$) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine h
Formel: Formel:
<div class="formula">
Konditionszahl:
$$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
</div>
## Formelbuchstaben ## Formelbuchstaben
<div class="letters">
- $B$: Basis der Maschinenzahl - $B$: Basis der Maschinenzahl
- $e$: Exponent der Maschinenzahl - $e$: Exponent der Maschinenzahl
- $K$: Konditionszahl - $K$: Konditionszahl
@ -125,4 +172,7 @@ $$K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}$$
- $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$ - $n$: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse $m$
- $x$: Darzustellender Wert - $x$: Darzustellender Wert
- $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$ - $\tilde{x}$: Approximation/Annäherung an $x$
</div>
## Glossar ## Glossar