ZHAWNotes/Notes/Semester 3/HM1 - Höhere Mathematik/Zusammenfassung.md

Höhere Mathematik

Inhalt

• Höhere Mathematik
  • Inhalt
  • Einführung
    • Einsatzgebiet
    • Arten von Lösungen
    • Verbindung zur Informatik
    • Typische Fragestellungen
  • Rechnerarithmetik
    • Lernziele
    • Maschinenzahl
    • Grenzen von Maschinenzahlen
    • Datentypen gem. IEEE
    • Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit
    • Konditionszahl
  • Formelbuchstaben
  • Glossar

Einführung

Einsatzgebiet

• Annähern komplexer Formeln in endlicher Zeit
• Berechnung von Algorithmen durch Computer
  • Algorithmen ohne expliziter Lösungsdarstellung
  • Alternative Lösungsvorgänge für höhere Performance

Arten von Lösungen

• Direkte Verfahren - Exakte Lösung nach endlicher Zeit
• Näherungsverfahren - Approximation nach begrenzter Anzahl Rechenschritte

Verbindung zur Informatik

• Effiziente Berechnung numerischer Algorithmen
• Speicherung und Darstellung von Zahlen
• Computergrafik & Bildverarbeitung
• Neuronale Netze

Typische Fragestellungen

• Wie wirkt sich die Beschränkung der Anzahl Bits für Zahlenformate auf Rechenergebnisse und Rechengenauigkeit aus?
• Numerische Lösung von Nullstellenproblemen
• Numerische Integration

Rechnerarithmetik

Lernziele

• Verstehen der Definition von maschinendarstellbaren Zahlen
• Fehler von Maschinenzahlen sowie Maschinengenauigkeit berechnen
• Fortpflanzung von Fehlern bei Funktionsanwendung abschätzen und Konditionszahl berechnen

Maschinenzahl

Maschinenzahlen werden als Zahlen x in folgender Form dargestellt:

x = m \cdot B^e

• x: Die zu repräsentierende Zahl
• m: Die Mantisse (der darstellbare Zahlenwert)
• B: Die Basis der zu repräsentierenden Zahl
• e: Der Exponent (der Stellenwert der Mantisse m)

Beispiel: 1337 = 0.1337 * 10^4

Maschinenzahlen sind normalisiert, wenn

• für die Mantisse m 0.1 <= |m| < 1.0 zutrifft

Maschinenzahlen werden normalisiert, damit es zu jedem Wert eine eindeutige Darstellung als Maschinenzahl gibt.

Grenzen von Maschinenzahlen

x_{max} = B^{e_{max}} - B^{e_{max}-n} = (1 - B^{-n}) \cdot B^{e_{max}}

x_min = B^{e_{min} - 1}

Datentypen gem. IEEE

float oder single: 32 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 23 Bit für Mantisse m, 8 Bit für Exponent e

double: 64 Bit - 1 Bit für Vorzeichen, 52 für Mantisse m, 11 Bit für Exponent e

Rundungsfehler und Maschinengenauigkeit

Absoluter Fehler:

|\tilde{x} - x|

Relativer Fehler:

\frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}

Maximaler absoluter Rundungsfehler:

\frac{B}{2} \cdot B^{e - n - 1}

Maschinengenauigkeit oder maximaler relativer Rundungsfehler:

\frac{1}{2} \cdot B^{1 - n}

Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertung:

Relativ:

\frac{f'(x) \cdot x}{f(x)} \cdot \frac{\tilde{x} - x}{x}

Absolut:

|f'(x)| \cdot |\tilde{x} - x|

• B: Die Basis der Maschinenzahl
• e: Der Exponent der Maschinenzahl (Standard-Wert: 0)
• n: Die Anzahl Stellen der Mantisse m
• x: Der darzustellende Wert
• \tilde{x}: Die Annäherung/Approximation an x
• f: Auszuwertende Funktion

Konditionszahl

Die Konditionszahl gibt an, wie gross der potenzielle relative Fehler einer numerischen Lösung ist.

Eine niedrige Konditionszahl (K \le 1) bedeutet einen niedrigen Fehler, eine hohe Konditionszahl ein grosses Fehlerrisiko.

Formel:

Konditionszahl:

K = \frac{|f'(x)| \cdot |x|}{|f(x)|}

Formelbuchstaben

• B: Basis der Maschinenzahl
• e: Exponent der Maschinenzahl
• K: Konditionszahl
• m: Mantisse (Darstellbarer Bereich der Maschinenzahl)
• n: Anzahl möglicher Stellen der Mantisse m
• x: Darzustellender Wert
• \tilde{x}: Approximation/Annäherung an x

Glossar