ZHAWNotes/Notes/Semester 1/DM - Diskrete Mathematik/01-Gundbegriffe und elementare Logik.md

Grundbegriffe und elementare Logik

Aussagen, Prädikate, Junktoren und Quantoren

Aussage

Eine Aussage beschreibt ein bestimmbares Objekt und deren Eigenschaften - diese lassen sich eindeutig bestätigen oder verneinen.

Beispiel einer wahren Aussage:
"Die Zahl 3 ist eine Primzahl"

Beispiel einer unwahren Aussage:
"Die Zahl 4 ist eine Primzahl"

Elementaraussagen und zusammengesetzte Aussagen

Eine spezielle Art von Aussage ist die sogenannte "Elementaraussage". Hierbei handelt es sich um eine Aussage, die nicht weiter aufgeteilt werden kann.

Alle anderen Aussagen lassen sich weiter aufteilen und sind somit "zusammengesetzte Aussagen".

Zum Vergleich:

• Elementaraussage:
  "Eine Woche hat 7 Tage" ist eine Elementaraussage
• Zusammengesetzte Aussage:
  "ein Tag hat 24 Stunden und eine Woche hat 7 Tage" eine

Mehr zu zusammengesetzten Aussagen unter Junktoren

Prädikat

Falls das Objekt, über welches eine Aussage getätigt wird, ohne Einschränkungen frei wählbar ist, handelt es sich nicht um eine Aussage, sondern um ein Prädikat.

Prädikate, welche von einer Variable abhängen nennen sich "Einstelliges Prädikat".

Beispiele:

• A(x) = "Die gegebene Zahl x ist eine Primzahl"
• A(x) = x < 3

Prädikate, welche von zwei Variablen abhängen nennen sich "Zweiteiliges Prädikat".

Beispiel:

A(x, y) = x < y

Mit Hilfe von Prädikaten können auch Aussagen erstellt werden:

Beispiel:

Prädikat: A(x) = x > 100
Aussage: A(10) = 10 > 100

Hierbei ist A der Name einer Funktion.

Junktoren

Zusammengesetzte Aussagen

Zusammengesetzte Aussagen sind Aussagen, die aus Elementaraussagen bestehen, die durch sogenannte Junktoren verknüpft werden.

Beispiel:

A:=\text{"78 ist keine Primzahl"}

B:=\text{"15 ist keine Primzahl"}

C:=\text{"78 ist keine Primzahl und 15 ist keine Primzahl"}

A und B sind Elementaraussagen, C ist eine zusammengesetzte Aussage.

1. Negation

Die Negation wird üblicherweise als "nicht" gesprochen. In Formeln wird die Negation mit dem Symbol \neg geschrieben.

Als Beispiel - f für "falsch" und w für "wahr":

A	\neg A
f	w
w	f

Bzw. mit 0 für "falsch" und 1 für "wahr":

A	\neg A
0	1
1	0

Beispiel:

A:=\text{"Hans studiert an der ZHAW"}

\neg A:=(\text{"Hans studiert nicht an der ZHAW"})

\neg A:=\text{"Es trifft nicht zu, dass Hans an der ZHAW studiert"}

2. Konjunktion

Die Konjunktion wird als "und" gesprochen und mit dem Zeichen \wedge geschrieben.

Beispiel:

A:=\text{"6 ist durch 2 teilbar"}: wahr

B:=\text{"8 ist durch 5 teilbar"}: falsch

A \wedge B :=\text{"6 ist durch 2 teilbar und 8 ist durch 5 teilbar"}: falsch

A	B	A \wedge B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Beispiel:
Falls A und B wahr sind:
A: w
B: w

1. A \wedge B: w
2. \neg A \wedge B: f
3. A \wedge \neg B: f
4. \neg A \wedge \neg B: f

3. Disjunktion

Die Disjunktion wird als "oder" gesprochen und mit dem Zeichen \vee dargestellt.

Beispiel:

A:=\text{"9 ist durch 3 teilbar"}: wahr

B:=\text{"9 ist eine Quadratzahl"}: wahr

A \vee \neg B:=\text{"9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl"}: wahr

Ist eine der Aussagen der Disjunktion wahr, so ist auch die Disjunktion wahr.

A	B	A \vee B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. Implikation

Die Implikation wird als "wenn A, dann $B$" ausgesprochen und in Formeln mit dem Zeichen \Rightarrow geschrieben.

Sollte A nicht zutreffen, ist das Ergebnis immer wahr (w bzw. 1).

Beispiel:

A:=\text{"Es regnet"}

B:=\text{"Die Wiese ist nass"}

A	B	A \Rightarrow B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Merksätze:

• Wenn A wahr ist, muss auch B wahr sein.
• Wenn A falsch ist, kann B wahr oder falsch sein.

Beispiel 2:

A:=\text{"Es gibt Einhörner"}: falsch

B:=\text{"4 ist eine Primzahl"}: falsch

C:=\text{"Wenn es Einhörner gibt, ist 4 eine Primzahl"}: wahr

Note:
"Falls es Einhörner gibt, ist 4 eine Primzahl."
Einhörner existieren nicht und 4 ist keine Primzahl - die Aussage ist also richtig... bis zum Fund des ersten Einhorns zumindest. 🦄

Beispiel 3:

A:=\text{"Spinat ist grün"}

B:=\text{"2 ist eine Primzahl"}

Beispiel 4:

A:=\text{"Alle Fische leben im Ozean"}

B:=\text{"Forellen leben im Ozean"}

C:=\text{"Haie leben im Ozean"}

\underbrace{\text{Alle Fische leben im Ozean}}_{A\text{: falsch}} \Rightarrow \underbrace{\text{Haie leben im Ozean}}_{C\text{: wahr}}: wahr
\underbrace{\text{Alle Fische leben im Ozean}}_{A\text{: falsch}} \Rightarrow \underbrace{\text{Forellen leben im Ozean}}_{\text{B: falsch}}: wahr

Note:
ex falso sequitur quodlibet (lateinisch für "aus Falschem folgt Beliebigest"), abgekürzt "e.f.q" oder eindeutiger contradictione sequitur quodlibet (lateinisch für "aus einem Widerspruch folgt Beliebiges), bezeichnet im eigenen Sinn eines der beiden in vielen logischen Systemen gültigen Gesetze:

1. Aus einem logisch - nicht bloss faktisch - falschen Satz folgt jede beliebige Aussage.
2. Aus zwei widersprüchlichen Sätzen folgt jede beliebige Aussage.

5. Äquivalenz

Die Äquivalenz wird "ist gleich" ausgesprochen und mit dem Zeichen \Leftrightarrow geschrieben.

Dieser Junktor beschreibt, dass beide Aussagen äquivalent sind. In diesem Fall gilt:

A \Rightarrow B \wedge B \Rightarrow A

Merksatz:
"A gilt genau dann, wenn B gilt"

A	B	A \Leftrightarrow B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Beispiel:
A(x):=x^2=4 und B(x):=x=2

in \mathbb{Z}:

B(x) \Rightarrow A(x): wahr

in \mathbb{N}:

A(x) \Rightarrow B(x): wahr

B(x) \Rightarrow A(x): wahr

A(x) \Leftrightarrow A(x): wahr

Reihenfolge der Bindungen

Die Reihenfolge der Bindungen beschreibt, welcher Operator die höchste Priorität hat.

• \neg
• \wedge
• \vee
• \Rightarrow
• \Leftrightarrow

Wie zu sehen ist, hat \neg die höchste Priorität. Schreibt man also eine Operation wie etwa \neg A \wedge B, muss A negiert werden bevor die AND (\wedge)-operation berechnet wird: (\neg A) \wedge B.

Des weiteren hat AND (\wedge) eine höhere Priorität als OR (\vee). So muss also in der Rechnung A \vee B \wedge C der Term B \wedge C als erstes berechnet werden: A \vee (B \wedge C).

Junktorenregeln

Junktorenregeln sind Regeln, wie man Aussagen umformen kann, sodass die Aussage (bzw. deren Bedingungen und Resultat) dieselbe ist.

Regel der doppelten Negation

\neg\neg A \Leftrightarrow A

Kommutativität

A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A und A \vee B \Leftrightarrow B \vee A

Assoziativität

(A \wedge B) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge (B \wedge C)
(A \vee B) \vee C \Leftrightarrow A \vee (B \vee C)

Distributivität

A \wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)
A \vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C)

Note:
Es kann helfen, sich beim Umformen der Rechenoperationen die herkömmlichen Operationen \times (Mal) und + (Plus) vorzustellen, um eine Idee davon zu bekommen, wie die Operation vereinfacht werden muss:

$$\underbrace{A}{x} \underbrace{\wedge}{\times}(\underbrace{B}{y} \underbrace{\vee}{+} \underbrace{C}_{z})\ x \times (y + z) \Leftrightarrow (x \times y) + (x \times z)$$ Verglichen mit:

(\overbrace{A}^{x} \overbrace{\wedge}^{\times} \overbrace{B}^{y}) \overbrace{\vee}^{+} (\overbrace{A}^{x} \overbrace{\wedge}^{\times} \overbrace{C}^{z})

Dieselbe Vorgangsweise lässt sich sowohl für Operationen mit \wedge als auch mit \vee anwenden: $$\overbrace{A}^{x} \overbrace{\vee}^{\times}(\overbrace{B}^{y} \overbrace{\wedge}^{+} \overbrace{C}^{z}) \overbrace{\Rightarrow}^{\Rightarrow} (\overbrace{A}^{x} \overbrace{\vee}^{\times} \overbrace{B}^{y}) \overbrace{\wedge}^{+} (\overbrace{A}^{x} \overbrace{\vee}^{\times} \overbrace{C}^{z})

Regeln von De Morgan

\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B
\neg (A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B

Beispiel:

Rechnung	Nächster Vorgang
A \Rightarrow B
\Leftrightarrow \neg A \vee B
\Leftrightarrow \neg\neg(\neg A \vee B)	Doppelte Negation
\Leftrightarrow \neg(\neg\neg A \wedge \neg B)	De Morgan
\Leftrightarrow \neg(A \wedge \neg B)
\Leftrightarrow \neg A \vee \neg\neg B	De Morgan
\Leftrightarrow \neg\neg B \vee \neg A	Kommutativ
\Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A

In Worten:
"Wenn es regnet, ist die Wiese nass" (A \Rightarrow B)
"Wenn die Wiese nicht nass ist, regnet es nicht. (\neg B \Rightarrow \neg A)

Hinweis:
Diese Umformung (\neg B \Rightarrow \neg A) ist nicht dasselbe wie \neg(A \Rightarrow B)

Weil: $$\neg(A \Rightarrow B)\ \Leftrightarrow \neg(\neg A \vee B)\ \Leftrightarrow \neg\neg A \wedge \neg B\ \Leftrightarrow A \wedge \neg B$$

Kontraposition

A \Rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \Rightarrow \neg A

Quantoren

Weg um ein Prädikat in eine Aussage umzuformen.

Beispiel:
P(x):=\text{"x ist eine natürliche Zahl"}: Prädikat
P(5):=\text{"5 ist eine natürliche Zahl"}: Aussage

In dieser Aussage ist die Variable x gebunden (x = 5).

\text{"Es gibt mindestens ein }x \in \mathbb{Z}\text{, so dass }P(x)\text{ gilt."}: Aussage
\text{"Für alle }x \in \mathbb{Z}\text{ gilt }P(x).": Aussage

Quantoren sind Symbole, anhand derer wir aus Prädikaten oder Aussagen gewinnen können. Wir betrachten das Beispiel des Prädikates:

A(x) := \text{"x ist eine Primzahl und x ist ein Teiler von 24"}

B:=\text{"es gibt eine Primzahl welche ein Teiler von 24 ist"}

mit anderen Worten:

B:= \text{"Es existiert ein x mit A(x)".}

Ein n-stelliges Prädikat wird durch Quantifizierung stets zu einem neuen n-1 stelligen Prädikat

Beispiel:

A(x, y):= x < y

Bei der Funktion A handelt es sich um ein 2-stelliges Prädikat. Die beiden Parameter heissen x und y.

B(y):= \forall x \in \mathbb{R} A(x, y)

Anders als die Funktion A hat die Funktion B nur einen Parameter namens y. Das Prädikat B ist somit 1-stellig.

Operatoren

Es gibt zwei verschiedene Quantoren, dessen Eigenschaften im Folgenden kurz aufgezeigt werden.

Symbol	Bezeichnung	Beschreibung	Gesprochen
\forall	Allquantor	universelle Quantifizierung	"für alle"
\exists	Existenzquantor	existenzielle Quantifizierung	"für mind. ein"

Beispiele:
A(x, y) := x < y
\forall x \in \mathbb{R}(\exists y \in \mathbb{R} A(x, y))
In Worten: "Für alle x in den reellen Zahlen gibt es mindestens ein y, das grösser ist. Diese Aussage ist wahr.

B(x) := \text{"}x\text{ kann programmieren"}
I := Menge der Informatiker
A := \forall x \in I B(x) \Leftrightarrow \text{"Alle Informatiker können programmieren"}
\text{"Alles, was ein Informatiker ist, kann programmieren"}
\Leftrightarrow \forall x (x \in I \Rightarrow B(x))

Ausdrücke wie \forall_x \forall_y A(x, y) können zu \forall_{x,y} A(x,y) gekürzt werden.

Regeln

1. Klammern
   Quantoren binden stärker als Junktoren:
   \forall x \in M B(x) \wedge C(x) \Leftrightarrow (\forall x \in M B(x)) \wedge C(x)
   nicht dasselbe wie:
   \forall x \in M (B(x) \wedge C(x))

2. Abkürzungen
   $\forall x \in M (\forall y \in M A(x,y)) \Leftrightarrow \forall_{x,y} \in M A(x,y)$ \exists x \in M (\exists y \in M A(x,y)) \Leftrightarrow \exists_{x,y} \in M A8x,y)
   Falls die Menge klar ist, kann diese von den Faktoren weggelassen werden:
   \forall x A(x) statt \forall x \in M A(x)

3. Negation
   \neg \exists_x \in M A(x) \Leftrightarrow \forall_x \in M \neg A(x)
\neg \forall_x \in M A(x) \Leftrightarrow \exists_in \in M \neg A(x)

Beispielsätze

In Worten	Operation
Alle Prüfungen sind einfach	\forall_x \in P E(x)
Eine Prüfung ist einfach	\exists_x \in P E(x)
Keine Prüfung ist einfach	\exists_x \in P E(x)
Alle Prüfungen sind nicht einfach	\forall_x \in P \neg E(x)
Nur eine Prüfung ist einfach	(\exists_x \in P E(x)) \wedge (\forall_{y,z} \in P (E(y) \wedge E(z) \Rightarrow y=z))
Nur eine Prüfung ist nicht einfach	(\exists_x \in P \neg E(x)) \wedge (\forall_{y,z} \in P (\neg E(y) \wedge \neg E(z) \Rightarrow y=z)
Nicht alle Prüfungen sind einfach	\neg \forall_x \in P E(x))
Eine Prüfung ist nicht einfach	\exists_x \in P \neg E(x)

Vereinfachungen

Term	Vereinfachung
\neg \exists_x \neg A(x)	\forall_x A(x)
\neg \exists_x \in K \neg A(x)	\forall_x \in K A(x)
\forall_x(x\in K \Rightarrow A(x))	\forall_x \in K A(x)
\exists_x (x \in K \wedge A(x))	\exists_x \in K A(x)

Grundlegende Beweistechniken

Direkter Beweis einer Implikation

Es gilt, eine Implikation zu beweisen:

A \Rightarrow B

Beweisen, dass in allen Fällen, in denen A wahr ist, auch B wahr ist.

Dies geschieht durch das Beweisen der Allgemeingültigkeit durch Nutzung von Variablen an Stelle von konkreten Werten.

Beispiel:

• A: "x und y sind gerade."
• B: "x \cdot y ist gerade."
• A \Rightarrow B: "Wenn x und y gerade sind, ist auch x \cdot y gerade.

Beweis:

x = 2 \cdot n_x

y = 2 \cdot n_y

x \cdot y = (2 \cdot n_x) \cdot (2 \cdot n_y)

\Leftrightarrow 2 \cdot (n_x \cdot 2 \cdot n_y)

x \cdot y ist also durch 2 teilbar und ist somit gerade.

Beweis durch Widerspruch

Es gilt zu beweisen, dass eine Aussage A wahr ist.

Die Lösungsstrategie hierbei ist, zu beweisen, dass die Negation der Aussage falsch ist.

Beispiel:

• A: "Es gibt keine grösste natürliche Zahl"

Die negierte Annahme A, entspricht der, dass es eine grösste natürliche Zahl m gibt.

Für jede natürliche Zahl n \in \mathbb{N} gilt, dass es einerseits eine nächstgrössere Natürliche Zahl o = n + 1 für die o > n gilt.

Da auch die angenommene grösste Zahl m eine natürliche Zahl n \in \mathbb{N} ist, gilt auch für m, dass es eine folgezahl o gibt, die grösser ist. Dies kann als Beweis interpretiert werden, dass die Aussage A wahr ist.

Beweis durch (Gegen-)Beispiel

Es gilt zu zeigen, dass eine bestimmte bestimmte Aussage nicht auf alle Elemente zutrifft.

Dies geschieht, indem man ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel für die vorliegende Aussage findet.

Beispiele in Worte:

• A: "Alle Schweine sind rosa."

• Gegenbeispiel B: "Die Schweine, die Kenny getötet haben, sind aber nicht rosa!"

• A: "Es gibt Wochentage, die nicht mit '-tag' enden."

• Beispiel B: "Mittwoch."

Beispiel:

• A: "Nicht jede natürliche Zahl ist eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl."
  oder in alternativer Ausdrucksweise:
  A: "Es gibt natürliche Zahlen, die keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sind."

Um diese Aussage A zu belegen, gilt es lediglich, ein geeignetes Beispiel zu finden.

Aufzeigen kann man das bspw. anhand der Zahl 2.

1^2 = 1 ist kleiner als 2 und 2^2 = 4 ist grösser als 2. 2 ist also keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl.

Beweis durch Kontraposition

Es gilt zu beweisen, ob eine Aussage, welche eine Implikation in der Form A \Rightarrow B (siehe Implikation) ist, wahr oder falsch ist.

Dies kann erreicht werden, indem man, wie im Kapitel Kontraposition beschrieben die Aussage von A \Rightarrow B zu \neg B \Rightarrow \neg A umformt.

Beispiel in Worten:

• A: "Wenn es regnet ist die Wiese nass."
• Beweisbare Kontraposition B: "Wenn die Wiese nicht nass ist, regnet es nicht."

Beispiel:

• A: "Für jede natürliche Zahl n gilt: (n^2 + 1 = 1) \Rightarrow (n = 0)
• Kontraposition B: "Für jede natürliche Zahl n gilt: (n \not = 0) \Rightarrow (n^2 + 1 \not = 1)

Falls die Bedingung, dass n \not = 0 ist, gilt auch, dass n^2 \not = 0 ist.
Somit ist also bewiesen, dass, im Falle, dass n \not = 0, auch n^2 + 1 \not = 1 zutrifft.

Beweis einer Äquivalenz

Es ist eine Aussage der Form A \Leftrightarrow B zu beweisen.

Erreicht werden kann das, indem man sowohl A \Rightarrow B als auch B \Rightarrow A beweist.

Beispiel:

• A: "$(n\text{ ist gerade}) \Leftrightarrow (n^2\text{ ist gerade})$"

Eine gerade Zahl kann jeweils bestimmt werden, indem man eine bestehende Zahl verdoppelt:

n = 2 \cdot i

n ist also immer dann gerade, wenn es 2 \cdot i entspricht (i ist hierbei eine beliebige, natürliche Zahl).

Trifft dies zu, so entspricht n^2 folgendem: (2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i).
Dies lässt sich, als Beweis, dass es durch 2 teilbar ist, folgendermassen umformen:

2 \cdot (i \cdot 2 \cdot i)

Da n^2 immer dem Term (2 \cdot i) \cdot (2 \cdot i) entspricht, ist diese Aussage nun in beide Richtungen bewiesen.

Beispielübung

Jeder Geldbetrag von mindestens 4 Cents lässt sich alleine mit $2$- und $5$-Centstücken bezahlen.

In algebraischer Form würde das in etwa so aussehen:

\forall x \in \left\{ \mathbb{N} | x \geq 4 \right\} x = 2a + 5b

An dieser Stelle steht a für die Anzahl $2$-Centstücke und b für die Anzahl $5$-Centstücke.

Dies kann mit Hilfe einer Fallunterscheidung (basierend darauf, ob der zu bezahlende Betrag gerade oder ungerade ist).

Eine natürliche Zahl kann nur entweder gerade oder ungerade sein. Aus diesem Grund müssen nur diese beiden Fälle behandelt werden.

Für gerade Zahlen

Gerade Zahlen können jeweils mit $2$-Centstücken bezahlt werden. Die Anzahl $2$-Centstücke ist hierbei jeweils der zu bezahlende Betrag geteilt durch 2.

In algebraischer Form würde dies in etwa folgendermassen aussehen:

\forall x \in \left\{ \mathbb{N} | x \geq 4 | x \text{ ist gerade} \right\} = 2 \cdot \frac{x}{2}

Für ungerade Zahlen

Um ungerade Zahlen zu erreichen, muss ein Weg gefunden werden, zu einem bestehenden, geraden Betrag einen zusätzlichen Cent zu bezahlen.

Dies kann erreicht werden, indem man 2 $2$-Centstücke weniger als geplant und stattdessen ein zusätzliches $5$-Centstück auszahlt.

Algebraisch sieht das wiederum so aus:

\forall x \in \left\{ \mathbb{N} | x \geq 4 | x \text{ ist ungerade} \right\} = 2 \cdot \left(\frac{x}{2} - 2\right) + 5 \cdot 1

Damit ist nun die getätigte Aussage dieser Aufgabe bewiesen.