ZHAWNotes/Notes/Semester 1/DM - Diskrete Mathematik/Zusammenfassung.md

Inhaltsverzeichnis

• Inhaltsverzeichnis
• Aussagenlogisches Rechnen
  • Operatoren
  • Regeln
    • Regeln der Doppelten Negation
    • Absorption
    • Kommutativität
    • Assoziativität
    • Distributivität
    • Regeln von De Morgan
  • Quantoren
    • Regeln
• Beweistechniken
  • Beweis durch Implikation
  • Beweis durch Widerspruch
  • Beweis durch (Gegen-)Beispiel
  • Beweis durch Kontraposition
  • Beweis durch Äquivalenz
  • Wahrheitstabelle
  • Normalformen
    • Negationsnormalform NNF
    • Disjunktive Normalform DNF
    • Konjunktive Normalform KNF
  • Ableitungsbaum
• Mengen
  • Syntax
  • Operationen
    • Subset $\subseteq$
    • Vereinigung $\cup$
    • Schnittmenge $\cap$
    • Differenz $\setminus$
    • Komplement/Negation $\overline{A}$
    • Symmetrische Differenz $\triangle$
    • Mächtigkeit $\vert A \vert$
    • Kartesisches Produkt $\times$
  • Rechenregeln
    • Kommuntativität
  • Vordefinierte Mengen
  • Potenzmenge $\mathcal{P}$
  • Partition
  • Unendlichkeit
    • Rechnen mit Unendlichkeit
• Relationen
  • Äquivalenzklasse
  • Äquivalenzrelation
• Themen
• Glossar

Aussagenlogisches Rechnen

Operatoren

• \neg A
  Gesprochen: "Nicht $A$"
• A \wedge B
  Gesprochen: "A und $B$"
• A \vee B
  Gesprochen: "A oder $B$"
• A \Rightarrow B
  Entspricht \neg A \vee B. Gesprochen: "A impliziert $B$"
• A \Leftrightarrow B
  Gesprochen: "A äquivalent $B$"

Regeln

Regeln der Doppelten Negation

\neg\neg A \Leftrightarrow A

Absorption

A \wedge A \Leftrightarrow A

A \vee A \Leftrightarrow A

Kommutativität

Operanden können beliebig vertauscht werden:

A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A

A \vee B \Leftrightarrow B \vee A

Assoziativität

Identische Operationen können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden:

(A \wedge B) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge (B \wedge C)

(A \vee B) \vee C \Leftrightarrow A \vee (B \vee C)

Distributivität

Unterschiedliche Operationen können "ausmultipliziert" werden:

A \wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)

A \vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C)

Regeln von De Morgan

\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B

\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B

Quantoren

• \forall x\, A(x)
  Gesprochen: "Für alle x gilt $A(x)$"
• \forall x \in M A(x)
  Gesprochen: "Für alle x aus der Menge M gilt A(x)
• \exists x\, A(x)
  Gesprochen: "Es gibt ein x mit $A(x)$"
• \exists x \in M A(x)
  Gesprochen: "Es gibt ein x aus der Menge M mit $A(x)$"

\forall x \forall y\, A(x,y) \Leftrightarrow \forall{x,y}\, A(x,y) und \exist x \exist y\, A(x,y) \Leftrightarrow \exist{x,y}\, A(x,y)

Hinweis:
Die Bezeichnung fär die Symbole \forall und \exist sind Allquantor und Existenzquantor.

Regeln

• Vertauschungsregel für unbeschränkte Quantoren
  \forall x\, A(x) \Leftrightarrow \neg\exist x\, \neg A(x)
• Vertauschungsregel für beschränkte Quantoren
  \forall x \in K\, A(x) \Leftrightarrow \neg\exist x \in K \neg A(x)
• Beschränkter und unbeschränkter Allquantor
  \forall x \in K A(x) \Leftrightarrow \forall x(x \in K \Rightarrow A(x))
• Beschränkter und unbeschränkter Existenzquantor
  \exist x K A(x) \Leftrightarrow \exist x(x \in K \wedge A(x))

Beweistechniken

Beweis durch Implikation

Anwendbar bei Formeln in der Form:

A \Rightarrow B

1. Zwingende Voraussetzungen für die Bedingung A erfassen
2. Prüfen, ob B richtig ist

Beispiel:
A: "x und y sind gerade."
B: "x \cdot y ist gerade."

Damit x und y gerade sind, müssen sie ein Produkt von 2 sein. Die Behauptung ist also:

x = 2 \cdot n_x und y = 2 \cdot n_y

n_x und n_y sind hierbei beliebige natürliche Zahlen.

Für den Nachweis ergibt sich folgendes für B:

x \cdot y = (2 \cdot n_x) \cdot (2 \cdot n_y) = 22 \cdot (n_x \cdot 2 \cdot n_y)

Da das Ergebnis ein vielfaches von 2 ist, heisst das, dass x \cdot y gerade ist und somit die Aussage A \Rightarrow B wahr ist.

Beweis durch Widerspruch

Anwendbar bei einfachen Aussagen.

Der Merksatz ist hierbei: "Wenn die Aussage nicht nicht wahr ist, ist sie wahr."

Der Vorgang ist hierbei, die ursprüngliche Aussage zu negieren und zu beweisen, dass die negierte Aussage unerfüllbar ist.

Beispiel:
A: "Es gibt keine grösste natürliche Zahl."
\neg A: "Es gibt eine grösste natürliche Zahl."

m sei dei grösste natürliche Zahl. Für jede natürliche Zahl x gibt es ein Inkrement, welches man mit Hilfe von x + 1 errechnen kann. So gibt es auch für m ein Inkrement m + 1, welches um 1 grösser ist als m. Somit sit die negierte Aussage \neg A unerfüllbar. A ist wahr.

Beweis durch (Gegen-)Beispiel

Anwendbar bei Aussagen mit Quantoren (\forall "für alle" und \exists "existiert").

Die Strategie hierbei ist, ein anwendbares Beispiel (im Falle \exists) oder Gegenbeispiel (im Falle \forall) zu finden.

Beispiel:
A: "Es existieren Zahlen, welche kein Quadrat einer natürlichen Zahl sind."

Dies lässt sich an dem Beispiel 2 beweisen. 2 ist weder ein Quadrat von 1 (1^2 = 1) noch von 2 (2^2 = 4).

Beweis durch Kontraposition

Anwendbar bei Aussagen in der Form A \Rightarrow B

Es gilt für diese Strategie, die dazugehörige Kontraposition \neg B \Rightarrow \neg A zu belegen.

Beispiel:
A: "Für jede natürliche Zahl n gilt: (n^2 + 1 = 1) \Rightarrow (n = 0)

Die Kontraposition dazu lautet wie folgt:
A': "Für alle Zahlen, die nicht 0 sind gilt n^2 + 1 \not= 1

Da alle Zahlen > 0 ein Quadrat haben, das grösser als 0 ist, gilt: n^2 + 1 > 1. Daraus folgt, dass Aussage A wahr ist.

Beweis durch Äquivalenz

Anwendbar für Aussagen der Form A \Leftrightarrow B

Die Strategie ist hierbei, zu beweisen, dass A \Rightarrow B gilt und B \Rightarrow A gilt.

Beispiel:
A: (n^2 + 1 = 1) \Leftrightarrow (n = 0)

Wenn n = 0 ist, ergibt sich aus (n^2 + 1 = 1) folgendes: (0^2 + 1 = 1) = (0 + 1 = 1). Damit ist A \Rightarrow B bewiesen.

Die einzige Situation in der (n^2 + 1 = 1) oder eher (n^2 = 0) ergibt, ist, wenn n 0 entspricht. Damit ist auch B \Rightarrow A bewiesen.

Wahrheitstabelle

Folgend ein Beispiel einer Wahrheitstabelle:

a	b	c	b \vee c	a \Rightarrow (b \vee c)
0	0	0	0	1
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Normalformen

Normalformen beinhalten generell nur ANDs (\wedge), ORs (\vee) und NOTs (\neg)

Negationsnormalform NNF

Die Negationsnormalform (NNF) ist die Form einer Formel, in der nur atomare (nicht aufteilbare) Teilformeln negiert sind.

Beispiel:

(A \wedge (\neg B \vee (C \vee D)))

Merke, dass nur B, welches atomar ist, negiert ist.

Disjunktive Normalform DNF

Die Disjunktive Normalform ist eine Umformung der Formel, in der alle Belegungen für die die Formel true ergibt, mit einander "verodert" werden.

Beispiel:
Die DNF für die Formel \neg A \wedge (B \vee C) lautet folgendermassen:

(\neg A \wedge \neg B \wedge C) \vee (\neg A \wedge B \wedge \neg C) \vee (\neg A \wedge B \wedge C)

Herleitung:
Schritt 1: Wahrheitstabelle aufstellen:

A	B	C	B \vee C	\neg A \wedge (B \vee C)
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	0

Schritt 2: $1$-Stellen aufschreiben:

• \neg A \wedge \neg B \wedge C
• \neg A \wedge B \wedge \neg C
• \neg A \wedge B \wedge C

Schritt 3: Formeln für $1$-Stellen "verodern":

(\neg A \wedge \neg B \wedge C) \vee (\neg A \wedge B \wedge \neg C) \vee (\neg A \wedge B \wedge C)

Konjunktive Normalform KNF

Bei der Konjunktiven Normalform wiederum, werden alle negierten Belegungen, in denen die gegebene Formel false ergibt miteinander "geandet".

Beispiel:
Der KNF von B \vee (A \wedge C) ist:

(A \vee B \vee C) \wedge (A \vee B \vee \neg C) \wedge (\neg A \vee B \vee C)

Herleitung:
Schritt 1: Wahrheitstabelle aufstellen:

A	B	C	A \vee C	B \vee (A \wedge C)
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Schritt 2: $0$-Stellen aufschreiben und negieren:

• \neg A \wedge \neg B \wedge \neg C
  Negation: A \vee B \vee C
• \neg A \wedge \neg B \wedge C
  Negation: A \vee B \vee \neg C
• A \wedge \neg B \wedge \neg C
  Negation: \neg A \vee B \vee C

Schritt 3: Negierte Ausdrücke mit ANDs verketten:

(A \vee B \vee C) \wedge (A \vee B \vee \neg C) \wedge (\neg A \vee B \vee C)

Ableitungsbaum

Der Ableitungsbaum bietet einen übersichtlichen Weg um Gleichungen in der Aussagenlogik zu lösen.

Folgend ein Beispiel:

Es sei (x \Rightarrow y) \wedge z mit folgender Belegung:

• B(x) = \top
• B(y) = \bot
• B(z) = \top

Der dazugehörige Ableitungsbaum ist dann:

flowchart BT
op3(("∧: 0"))
op2(("∨: 0"))
op1(("¬: 0"))
x["x: 1"]
y["y: 0"]
z["z: 1"]
x --- op1
op1 --- op2
y --- op2
op2 --- op3
z --- op3

Mengen

Mengen haben keine Sortierung und keine doppelten Elemente.

Hinweise:

• Mengen heissen "disjunkt", wenn sie keine gemeinsamen Elemente beinhalten.

Syntax

M = \{ x \in \N | x > 5\}

• \in
  Gesprochen: "Element von"
• \notin
  Gesprochen: "Nicht Element von"
• |
  Gesprochen: "Für die gilt"

"M ist die Menge aller x, für die gilt, dass x > 5 ist."

M = { 5, 6, 7, 8, ... }

Operationen

Subset \subseteq

Vereinigung \cup

Die Vereinigung "Union" beschreibt die Zusammenfassung zweier Mengen:

Schnittmenge \cap

Die Schnittmenge "Intersection" zweier Mengen:

Differenz \setminus

Beschreibt die Differenzmenge zweier Mengen:

A \setminus B gesprochen: "A ohne $B$"

Komplement/Negation \overline{A}

Das Komplement einer Menge A wird wie folgt geschrieben:

\overline{A}

Sie beschreibt alle Elemente, die nicht in der Menge A vorkommen:

Symmetrische Differenz \triangle

Die Vereinigung zweier Mengen abzüglich deren Schnittmenge:

A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) gesprochen "A ohne B vereinigt mit B ohne $A$"

Mächtigkeit \vert A \vert

Die Mächtigkeit \vert A \vert beschreibt, wieviele Elemente eine Menge A beinhaltet.

Beispiel:
\vert \{1, 78, 28\} \vert = 3

Kartesisches Produkt \times

Das Kartesische Produkt ist eine Menge aller Folgen, die aus den Elementen der beiden Mengen gebildet werden können.

Beispiel:

A = \{a, b\}

B = \{2, 3, 4\}

A \times B = \{a, b\} \times \{2, 3, 4\} = \{(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)\}

Die Mächtigkeit von A \times B ist gleich \vert A \vert \cdot \vert B \vert

Hinweis:
Folgen sind sortiert das bedeutet folgendes:

A \times B \not = B \times A

Rechenregeln

Kommuntativität

Vordefinierte Mengen

• \N: Natürliche Zahlen - Zahlen \geq 0
• \Z: Alle ganzen Zahlen (positiv und negativ)

Potenzmenge \mathcal{P}

Die Potenzmenge gibt alle möglichen Kombinationen aus einer gegebenen Menge zurück. Die Funktion \mathcal{P}(x) ist folgendermassen definiert:

\mathcal{P}(A) := \{x | x \subseteq A \}

Beispiel:

\mathcal{P}(\{0, 1\}) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}

Bemerkung:
Die Mächtigkeit einer Potenzmenge errechnet sich folgendermassen:

|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

Partition

Eine Partition einer Menge A ist eine Menge von Teilmengen von A.

Diese Teilmengen müssen folgende Bedingungen erfüllen:

• Die Mengen dürfen nicht leer sein
• Teilmengen dürfen untereinander keine gemeinsamen Elemente haben

Unendlichkeit

Unendliche Mengen sind unter folgenden Bedingungen abzählbar oder überabzählbar:

• Abzählbar unendlich, wenn sie gleich mächtig wie \N sind
• Überabzählbar unendlich, wenn sie mächtiger als \N sind

Rechnen mit Unendlichkeit

A sei eine abzählbar unendliche und B eine überabzählbar unendliche Menge:

• A \cup B ist abzählbar, da im Ergebnis nur Elemente aus der abzählbaren Menge A enthalten sind.
• A \cap B ist überabzählbar, da alle Elemente der überabzählbaren Menge B im Ergebnis enthalten sind
• B \setminus A ist überabzählbar, da von der überabzählbaren Menge B nur die abzählbaren Elemente abgezogen werden.

Relationen

DAG ("discrete acyclic graph") ein "gerichteter azyklischer Graph" ist ein Graph, in dem keine Zyklen enthalten sind:

Folgendes ist ein DAG:

flowchart LR
a((A))
b((B))
c((C))
d((D))
e((E))
f((F))
g((G))
a --> b
b --> c
c --> e
b --> e
b --> d
g --> d
d --> e
e --> f

Folgendes ist kein DAG:

flowchart LR
a((A))
b((B))
c((C))
d((D))
e((E))
f((F))
a --> b
b --> c
d --> b
c --> e
e --> f
e --> d

Äquivalenzklasse

Eine Äquivalenzklasse beinhaltet alle Elemente, welche einer Klasse zugeordnet werden können

Äquivalenzrelation

Themen

• Chinesischer Restsatz
• Euklidischer Algorithmus (ggt, kgv berechnen)

Glossar

Bezeichnung	Beschreibung
Knotenmenge	Die Menge aller Elemente (Knoten), die in einem Graphen vorkommen.
Wahrheits-Konstanten	\top steht für true, \bot für false.