ZHAWNotes/Notes/Semester 1/DM - Diskrete Mathematik/03-Mengen, Relationen und Funktionen.md

Mengen, Relationen und Funktionen

Mengen

Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte

Beispiele:

• Folgendes sind Mengen:
  • {1, 2, 3}
  • Mitglieder einer Klasse
  • Wesen einer bestimmten Spezies
• Folgendes sind keine Mengen:
  • {1, 1, 3}
  • Personen mit schlechtem Gedankengut
    • Anmerkung: Keine Menge, da der Term "schlecht" nicht genauer beschrieben wird

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn die dieselben Elemente enthalten. Es gilt für alle Mengen \mathbb{X} und \mathbb{Y} die Äquivalenz, wenn folgendes zutrifft:

Im Scrtipt nachlesen - Definition 15

Eigenschaften von Mengen

Sortierung

Mengen sind unsortiert folglich gilt folgendes:

\{1,2,3\} = \{2,3,1\} = \{1,3,2\}

Spezielle Zahlenmengen

Natürliche Zahlen \mathbb{N}

Die natürlichen zahlen beinhalten alle positiven, ganzen Zahlen. Üblicherweise ist in diesen die 0 nicht mit eingeschlossen. Um dies eindeutig zu kennzeichnen, kann man die Menge auch als \mathbb{N}_0 schreiben.

\mathbb{N} = \{\mathbb{N}_{\ge 1}\} = \{ 1, 2, 3, ...\}

\mathbb{N}_0 = \{\mathbb{N}_{\ge 0}\} = \{ 0, 1, 2, 3, ... \}

Ganze Zahlen \mathbb{Z}

\mathbb{Z} beinhaltet alle ganzzahligen Werte. Des weiteren kann man die Menge \mathbb{Z} in einer Notation schreiben, um klarzustellen, ob nur positive oder nur negative Zahlen gemeint sind (\mathbb{Z}^+ und \mathbb{Z}^-). Wird die Menge mit keiner besonderen Notation geschrieben, sind sowohl positive als auch negative Zahlen (inkl. 0) gemeint.

\mathbb{Z} : \text{ganze Zahlen}

\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2 ...\}

\mathbb{Z}^+ : \text{positive Zahlen}

\mathbb{Z}^- : \text{negative Zahlen}

Rationale Zahlen \mathbb{Q}

Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als einfacher Bruch darstellen lassen. So ist bspw. \frac{1}{\sqrt{2}} keine rationale Zahl, da sich dieser Term nicht als einfacher Bruch darstellen lässt, denn \sqrt{2} lässt sich nicht berechnen.

Beispiele:

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

Reelle Zahlen \mathbb{R}

\mathbb{R} : \text{reelle Zahlen}

Beispiele \sqrt{2}, \pi, e

\mathbb{C} : \text{komplexe Zahlen}

Unmögliche Zahlen wie bspw. negaive Wurzeln

Intervallschreibweise

[a,b]:= \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \}

Falls in einer in der Intervallschreibweise geschriebenen Menge kein Definitionsbereich angegeben wird, wird implizit mit \mathbb{R} (reellen Zahlen) gearbeitet.

]a, b[ = (a, b) = \{x\in \mathbb{R} | a < x < b\}

Prädikatschreibweise

Relationen

Operationen auf Relationen

1. Komposition \circ (hintereinander ausführen)

R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\}  \subseteq A \times B

Surrjektiv - Rechtstotal Zu jedem "b" hat es mindestens ein "a"

Injektiv - Linkseindeutig Zu jedem "b" gibt es maximal ein "a"

Bijektiv (Surjektiv & ijketiv) Zu jedem "b" gibt es genau ein "a"

Unendlich grosse Mengen

Endlich grosse Mengen lassen sich vergleichen, indem man die Mächtigkeit gegenüberstellt - also die Anzahl der Elemente in A und die Anzahl Elemente in B und diese vergleicht.

In unendlich grossen Mengen ist dies jedoch unmöglich.

Abzählbarkeit

1. Jede endliche Menge ist abzählbar
2. Jede Teilmenge ist abzählbar
3. Ist X eine abzählbare Menge & gibt es eine surjektive Funktion F: X \rightarrow Y, dann ist auch Y abzählbar
4. Gibt es keine solche Funktion, ist Y überabzählbar

Beispiele von Menge:

• Abzählbar
  • \mathbb{M}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{N} \times \mathbb{N}

2021-11-23

• Beweismethode kleinster Verbrecher (Script Beispiel 50)