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# Mengen, Relationen und Funktionen
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## Mengen
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Zusammenfassung **unterscheidbarer** Objekte
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> **Beispiele:**
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> * Folgendes sind Mengen:
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> * ${1, 2, 3}$
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> * Mitglieder einer Klasse
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> * Wesen einer bestimmten Spezies
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> * Folgendes sind **keine** Mengen:
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> * ${1, 1, 3}$
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> * Personen mit schlechtem Gedankengut
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> * ***Anmerkung:*** Keine Menge, da der Term "schlecht" nicht genauer beschrieben wird
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### Gleichheit von Mengen
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Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn die dieselben Elemente enthalten. Es gilt für alle Mengen $\mathbb{X}$ und $\mathbb{Y}$ die Äquivalenz, wenn folgendes zutrifft:
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**Im Scrtipt nachlesen - Definition 15**
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### Eigenschaften von Mengen
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#### Sortierung
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Mengen sind unsortiert folglich gilt folgendes:
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$$\{1,2,3\} = \{2,3,1\} = \{1,3,2\}$$
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### Spezielle Zahlenmengen
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#### Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
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Die natürlichen zahlen beinhalten alle positiven, ganzen Zahlen.
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Üblicherweise ist in diesen die $0$ **nicht** mit eingeschlossen. Um dies eindeutig zu kennzeichnen, kann man die Menge auch als $\mathbb{N}_0$ schreiben.
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$$\mathbb{N} = \{\mathbb{N}_{\ge 1}\} = \{ 1, 2, 3, ...\}$$
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$$\mathbb{N}_0 = \{\mathbb{N}_{\ge 0}\} = \{ 0, 1, 2, 3, ... \}$$
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#### Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
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$\mathbb{Z}$ beinhaltet alle ganzzahligen Werte. Des weiteren kann man die Menge $\mathbb{Z}$ in einer Notation schreiben, um klarzustellen, ob nur positive oder nur negative Zahlen gemeint sind ($\mathbb{Z}^+$ und $\mathbb{Z}^-$). Wird die Menge mit keiner besonderen Notation geschrieben, sind sowohl positive als auch negative Zahlen (inkl. $0$) gemeint.
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$$\mathbb{Z} : \text{ganze Zahlen}$$
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$$\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2 ...\}$$
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$$\mathbb{Z}^+ : \text{positive Zahlen}$$
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$$\mathbb{Z}^- : \text{negative Zahlen}$$
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#### Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
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Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als einfacher Bruch darstellen lassen. So ist bspw. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ **keine** rationale Zahl, da sich dieser Term nicht als einfacher Bruch darstellen lässt, denn $\sqrt{2}$ lässt sich nicht berechnen.
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> ***Beispiele:***
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> $$\frac{2}{3}$$
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> $$\frac{1}{2}$$
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#### Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
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$$\mathbb{R} : \text{reelle Zahlen}$$
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**Beispiele** $\sqrt{2}, \pi, e$
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$$\mathbb{C} : \text{komplexe Zahlen}$$
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Unmögliche Zahlen wie bspw. negaive Wurzeln
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### Intervallschreibweise
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$$[a,b]:= \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \}$$
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Falls in einer in der Intervallschreibweise geschriebenen Menge kein Definitionsbereich angegeben wird, wird implizit mit $\mathbb{R}$ (reellen Zahlen) gearbeitet.
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$$]a, b[ = (a, b) = \{x\in \mathbb{R} | a < x < b\}$$
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### Prädikatschreibweise
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## Relationen
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### Operationen auf Relationen
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1. Komposition $\circ$ (hintereinander ausführen)
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$$R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \subseteq A \times B$$
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Surrjektiv - Rechtstotal
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Zu jedem "b" hat es mindestens ein "a"
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Injektiv - Linkseindeutig
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Zu jedem "b" gibt es maximal ein "a"
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Bijektiv (Surjektiv & ijketiv)
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Zu jedem "b" gibt es genau ein "a"
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### Unendlich grosse Mengen
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Endlich grosse Mengen lassen sich vergleichen, indem man die Mächtigkeit gegenüberstellt - also die Anzahl der Elemente in $A$ und die Anzahl Elemente in $B$ und diese vergleicht.
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In unendlich grossen Mengen ist dies jedoch unmöglich.
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#### Abzählbarkeit
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1. Jede endliche Menge ist abzählbar
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2. Jede Teilmenge ist abzählbar
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3. Ist $X$ eine abzählbare Menge & gibt es eine surjektive Funktion $F: X \rightarrow Y$, dann ist auch $Y$ abzählbar
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4. Gibt es keine solche Funktion, ist $Y$ überabzählbar
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Beispiele von Menge:
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- Abzählbar
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- $\mathbb{M}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$
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## 2021-11-23
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- Beweismethode kleinster Verbrecher (Script Beispiel 50)
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