ZHAWNotes/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung.md

Zusammenfassung Analysis 2

Inhalt

• Zusammenfassung Analysis 2
  • Inhalt
  • Integrale
    • Unbestimmte Integrale
    • Integration von Produkten
      • Integration durch Substitution
        • Schritt 1: Verschachtelte Funktionen Bestimmen
        • Schritt 2: Substitutions-Gleichung für $x$
        • Schritt 3: Substitutions-Gleichung für $dx$
        • Schritt 4: Integral-Substitution
  • Taylor-Reihe

Integrale

Integrale dienen dazu, die Flächen unter einer Kurve zu berechnen.

Mit der Funktion f(x) = x^3 + 5 lässt sich dessen Integral folgendermassen darstellen:

\int_{2}^4{f(x)dx}

oder

\int_{2}^4{\left(x^3 + 5\right)dx}

Berechnen lässt sich das Integral mit Hilfe der Basisfunktion:

F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 5x

Folgend lautet die Integration:

\int_{2}^4{f(x)dx} = F(4) - F(2)

oder

$$\int_{2}^4{f(x)dx} = \left(\frac{1}{4}4^4 + 5 \cdot 4\right) - \left(\frac{1}{4} \cdot 2^4 + 5 \cdot 2\right) \ \int_{2}^4{f(x)dx} = \frac{1}{4} \cdot 256 + 20 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 10 \ \int_{2}^4{f(x)dx} = 64 + 20 - 4 - 10 = 70$$

Unbestimmte Integrale

Integrale können in unbestimmter oder in bestimmter Form geschrieben werden. Unbestimmte Integrale haben - anders als bestimmte Integrale - keinen festgelegte Grenzwerte.

Aus diesem Grund können diese nicht eindeutig berechnet werden:

\int{x^3 + 5dx} = F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 5x + C

Informationen zur Konstanten C:
Da in der Ableitung von f(x) = x^3 + 5 eine beliebige Konstante C zulässt, kann die Ableitung nicht eindeutig bestimmt werden. Nur durch Setzen von Grenzen lässt sich die Konstante eliminieren: $$\int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = F(1) - F(-1) \ \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = \left(\frac{1}{4} \cdot 1^4 + 5 \cdot 1 + C\right) - \left(\frac{1}{4} + 5 \cdot -1 + C\right) \ \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = \frac{1}{4} + 5 + C - \frac{1}{4} + 5 - C \ \int_{-1}^1{x^3 + 5dx} = 5 + 5 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + C - C = 10$$

Integration von Produkten

Da Produkte sowohl durch Produktregel oder durch Kettenregel entstandene Ableitungen sein können, ist das Bestimmen der Basisfunktion von Produkten etwas komplizierter.

So kann ein Produkt von folgenden 2 Ableitungen¹ stammen:

\left(u(x) \cdot v(x) \right)' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

oder

(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)

Die zwei gängigsten Methoden sind im folgenden beschrieben:

Integration durch Substitution

Diese Methode basiert auf folgende Ableitungs-Regel¹.

F(u(x)) = \int{F(u(x))' dx} = \int{F'(u) \cdot u'(x) dx}

Gelöst wird das Ganze mit der Regel \frac{du}{dx} = g'(x) für u = g(x).

Aufgezeigt wird das anhand eines bestimmten und eines unbestimmten Integrals:

• Beispiel a)

  \int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx}

• Beispiel b)

  \int^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}_0\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx

Schritt 1: Verschachtelte Funktionen Bestimmen

In diesem Schritt sollen die verschachtelten Funktionen für spätere Funktionen bestimmt werden:

Für Beispiel a) und b) mit f(g(x)) = \cos(x^2) \cdot x:

• f(x) = \cos(g(x)) \cdot x
• g(x) = x^2

Schritt 2: Substitutions-Gleichung für x

u = g(x)

Für Beispiel a) und b) bedeutet das:

u = x^2

Note:
Eine verschachtelte Funktion wird üblicherweise mit g(x) bezeichnet.

Schritt 3: Substitutions-Gleichung für dx

\frac{du}{dx} = g'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{g'(x)}

Im Fall von Beispiel a) und b) entspricht die Ableitung g'(x) 2x.

Für Beispiel a) und b) bedeutet das folgendes:

\frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}

Schritt 4: Integral-Substitution

\int{f(x) dx} = \int{\varphi(u) du}

Die genannte Formel muss nun auf das Integral und das substituierte Integral angewendet werden.

Hierbei soll die Variable x weggekürzt werden. Ist dies nicht möglich, so ist dieser Ansatz "Integration durch Substitution" für dieses Integral nicht möglich.

Beispiel a)
$$\int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx} = \int{\left(\cos(u) \cdot x\right) \frac{du}{2x}} \ \int{\left(\cos(x^2) \cdot x\right) dx}

Taylor-Reihe

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1. Ableitungen ↩︎